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EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Notación Límites laterales Definición Explicación Regla de LHôpital Teorema.

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1 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Notación Límites laterales Definición Explicación Regla de LHôpital Teorema Límites infinitos Límite finito en el infinito Límite infinito en el infinito

2 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Notación Sea f una función y a un número real fijo. Supongamos que f está definida en un entorno reducido del punto a, es decir, el dominio de f contiene intervalos de la forma (a-δ, a) y (a, a+δ). Si existe un número L, tal que a medida que x se aproxima al número a, f(x) se aproxima a L, entonces L es el límite de f(x) cuando x tiende a a. Se escribe:

3 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio La función f(x) = x.sen(1/x), verifica: Al aproximarnos a cero (a=0) por puntos x distintos de cero, f(x) se aproxima a 0 (L=0) Véase con la definición de límite.

4 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Se tiene que verificar que: Por la definición: En nuestro caso: DEMOSTRACIÓN Como se cumple que :, basta tomar para que se cumpla Por muy pequeño que sea ε siempre se puede considerar un δ menor de tal forma que si x se aproxima a 0, entonces xsen(1/x) se aproxima al límite.

5 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Límites laterales Sea f una función y a un número real fijo. Supongamos que el dominio de f contiene un intervalo abierto (a, b). Si a medida que x se aproxima al número a por la derecha, es decir con a

6 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio La función f(x) =, verifica: En este caso los límites laterales no coinciden, y por lo tanto, no existe el límite de esta función cuando x tiende a 1.

7 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Teorema Sea f una función y a un punto interior al dominio de f, entonces, existe el límite de f(x) cuando x tiende a a si y sólo si existen los límites laterales y son coincidentes: Si entonces PROPIEDAD Si existe el límite de f(x) cuando x tiende a a, entonces es ÚNICO

8 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio La función f(x) =, verifica: En este caso los límites laterales coinciden, y por lo tanto, existe el límite de esta función cuando x tiende a 1 y vale 2.

9 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Definición Sea f una función y a un número real fijo. Supongamos que f está definida en un entorno del punto a, es decir, el dominio de f contiene intervalos de la forma (a-δ, a) y (a, a+δ). Existe un número L, tal que es el límite de f(x) cuando x tiende a a si:

10 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Explicación: Para cada número positivo ε existe un número δ tal que para todo x de un entorno de a y radio δ su imagen f(x) cae dentro de un entorno de L de radio ε.

11 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Límites infinitos Sea f una función y a un número real fijo. Supongamos que f está definida en un entorno (tal vez perforado) del punto a, es decir, el dominio de f contiene intervalos de la forma (a-δ, a) y (a, a+δ). El límite de f(x) cuando x tiende a a es infinito si: El límite de f(x) cuando x tiende a a es menos infinito si:

12 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Límites infinitos Para cada número positivo M existe un número δ tal que para todo x de un entorno de a y radio δ su imagen f(x) está siempre por encima de M

13 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Para cada número positivo M existe un número δ tal que para todo x de un entorno de a y radio δ su imagen f(x) está siempre por encima de M Demostrar que: DEMOSTRACIÓN Como se cumple que :, basta tomar para que se cumpla Cualquiera que sea M

14 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Para cada número negativo M existe un número δ tal que para todo x de un entorno de a y radio δ su imagen f(x) está siempre por debajo de M Demostrar que: DEMOSTRACIÓN Como se cumple que :, basta tomar para que se cumpla. Cualquiera que sea M Obsérvese que M es negativo

15 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Límite finito en el infinito Sea f una función cuyo dominio contiene un intervalo de la forma (a, + ). Existe un número L, tal que es el límite de f(x) cuando x tiende a si: L L-ε L+ε k Cuanto más pequeño sea ε debemos escoger un número k más grande para que la diferencia entre f(x) y L sea inferior a ε.

16 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Demostrar que: DEMOSTRACIÓN Como se cumple que:, basta tomar para que se cumpla Existe k Cuanto más pequeño sea ε debemos escoger un número k más grande para que la diferencia entre f(x) y L sea inferior a ε. 1-ε 1+ε

17 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Límite infinito en el infinito Sea f una función definida para todo número mayor que algún número b. El límite de f(x) cuando x tiende a es, si: k M Cuanto más grande sea M debemos escoger un número k más grande para que sea inferior a f(x).

18 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Demostrar que: DEMOSTRACIÓN Como se cumple que:, basta tomar para que se cumpla M Existe k Cuanto más grande sea M debemos escoger un número k más grande para que sea inferior a f(x).

19 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Regla de LHôpital La regla se puede aplicar a distintas indeterminaciones: 0. ; - ; 0 0 ; 1, mediante las transformaciones pertinentes pasamos a las indeterminaciones de la forma 0/0 ó bien / Sean f, g funciones derivables en un entorno de un punto ó Si y existe, entonces existe y se cumple que:. Cálculo de límites mediante la Regla de LHôpital: Si en la expresión se vuelve a presentar una indeterminación del tipo 0/0 ó / se puede volver a aplicar la regla (siempre y cuando se cumplan las hipótesis).

20 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Calcular. Ejemplo de cálculo de límites mediante la Regla de LHôpital: SOLUCIÓN Comprobamos las hipótesis de la Regla de LHôpital Entonces existe el límite de la función senx/x cuando x tiende a cero:

21 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Calcular. Ejemplo de cálculo de límites mediante la Regla de LHôpital: SOLUCIÓN Comprobamos las hipótesis de la Regla de LHôpital INDETERMINACIÓN Aplicando logaritmos

22 EL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN ETSITGC Madrid Unidad Docente de Matemáticas Inicio Entonces existe el límite:


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