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Formulas integrales De Cauchy. 2 Más sobre integración en contornos cerrados... Podemos usar el teorema de Cauchy G para integrar funciones en contornos.

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1 Formulas integrales De Cauchy

2 2 Más sobre integración en contornos cerrados... Podemos usar el teorema de Cauchy G para integrar funciones en contornos cerrados siempre que éstas sean: (a) analíticas, o (b) analíticas en ciertas regiones Por ejemplo, f (z) es analítica en todo punto excepto en z = 0 Pero, ¿qué sucede si el contorno encierra un punto singular?

3 EJEMPLO

4 4 Sea f (z) analítica en un dominio simplemente conexo D. Para cualquier punto z 0 en D y cualquier contorno cerrado C en D que incluya z 0 :

5 5 (2) donde C es el círculo |z+i |=1 Necesitamos un término en la forma 1/(z- z 0 ) así que rescribimos la integral como: En primer lugar, notemos que 1/(z 2 +1) presenta puntos singulares en z = i. El contorno C incluye uno de esos puntos, z = -i. Ese es nuestro punto z 0 en la fórmula

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8 8 Tenemos que El contorno C incluye uno de esos puntos, z = +i. Ese es nuestro punto z 0 en la fórmula donde Ahora donde C es el círculo |z+i |=1

9 Fórmula integral de Cauchy para derivadas Y SI TENEMOS EXPONENTE en El denominador? Generalización de la fórmula integral de Cauchy

10 En su forma mas operativa Generalización de la fórmula integral de Cauchy

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12 12 Otro Ejemplo Evaluar la integral donde C es el círculo |z |=2 sea f (z) es analítica en D, y C incluye z 0

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14 14 Ejemplo Evaluar la integral donde C es el círculo |z |=2 sea f (z) es analítica in D, y C incluye z 0

15 15 Calcular donde C es la circunferencia con sentido positivo.

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20 Si se tienen dos puntos singulares dentro de C, se usa Deformacion de contornos o fracciones parciales

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22 22 Demostración no rigurosa de la fórmula integral de Cauchy: Por el principio de deformación de contornos: Cambio de variable:

23 23 Hemos tomado un r 0 arbitrario. Hagámoslo infinitamente pequeño: ¿Qué no es riguroso aquí?

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25 APLICACIONES

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28 Se dice que un dominio D es simplemente conexo si cualquier contorno cerrado simple C que se localice completamente en D puede encogerse hasta un punto sin tener que abandonar D. En otras palabras, en un dominio simplemente conexo, cualquier contorno cerrado simple C que se encuentre completamente en aquél encierra únicamente a puntos del dominio D. Expresado en forma alterna, un dominio simplemente conexo no tiene orificios. El plano complejo completo es un ejemplo de un dominio simplemente conexo. Un dominio que no es simplemente conexo se denomina dominio múltiplemente conexo ; esto es, un dominio múltiplemente conexo tiene orificios, véase figura Un dominio con un orificio se denomina doblemente conexo, un dominio con 2 orificios se denomina triplemente conexo, etc. Preliminares

29 En 1883, el matemático francés Édouard Goursat demostró el teorema de Cauchy sin la hipótesis de continuidad de f. La versión modificada resultante del teorema de Cauchy se conoce como teorema de Cauchy- Goursat. Como el interior de un contorno cerrado simple es un dominio simplemente conexo, el teorema de Cauchy- Goursat puede plantearse en forma poco más práctica: Se prueba Con Green Y cauchy Riem TEOREMA DE CAUCHY GOURSAT


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