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1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar VECTORES Vector fijo, AB, es un segmento.

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1 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar VECTORES Vector fijo, AB, es un segmento orientado determinado por un punto origen A(a 1, a 2 ) y un punto extremo, B(b 1, b 2 ). Componentes de AB: (b 1 – a 1, b 2 – a 2 ) Direcci ó n: recta determinada por A y B Sentido M ó dulo: longitud del vector: |AB| = (b 1 – a 1 ) 2 +(b 2 – a 2 ) 2 Dos vectores fijos son equipolentes si tienen la misma direcci ó n, sentido y m ó dulo. El conjunto de vectores equipolentes definen un vector libre v, que tiene las mismas componentes que sus equipolentes. M ó dulo de v = (v1, v2) es |v| = v v 2 2

2 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar OPERACIONES CON VECTORES Suma de vectores libres v = (v 1, v 2 ) y w = (w 1, w 2 ) v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2 ) Multiplicación de un vector por un número real v = (v 1, v 2 ) y k real k · v = (kv 1, kv 2 ) Si k = 0 k · v = 0 Si k > 0 k · v mismo dirección y sentido que v módulo = k|v| Si k < 0 k · v mismo dirección que v y sentido contrario módulo = k|v|

3 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Base Un conjunto de vectores son linealmente independientes si ninguno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los demás. w es combinación lineal de un conjunto de vectores, u 1, u 2, …, u n si w = k 1 ·u 1 + k 2 ·u 2 + ………+ k n u n donde los k i son números reales Si dos vectores en el plano son linealmente independientes, cualquier otro vector se expresa como combinación lineal suya. Estos vectores se denominan base. Base canónica i = (1,0) j = (0,1) v = (v 1, v 2 ) = v 1 i + v 2 j

4 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar PRODUCTO ESCALAR (I) Propiedades del producto escalar u · u 0 (u · u = 0 si y sólo si u = 0) Propiedad conmutativa u · v = v · u Propiedad asociativa mixta (au) · v = u · (av) = a(u · v) Propieda distributiva (u + v) · w = u · w + v · w Producto escalar de dos vectores u · v = |u|·|v|· cos (u, v) Si u o v es 0 u · v = 0 Si (u, v) = 90°u · v = 0 u · u = |u|·|u|· cos 0° = |u| 2 |u| = u·u· u

5 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar PRODUCTO ESCALAR (II) Expresión analítica del producto escalar a · b = a 1 b 1 + a 2 b 2 Vector unitario u: |u| = 1 Si v = (v 1, v 2 ) no es unitario podemos obtener: v v1 v2 |v| |v| |v| donde u es unitario y tiene la misma dirección y sentido que v u = =, Ángulo que forman dos vectores cos(u, v) = u. v |u|. |v|

6 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar ECUACIONES DE LA RECTA

7 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar Para determinar la posición de dos rectas, nos fijamos en sus ecuaciones y analizamos el sistema que forman: Si el sistema tiene una única solución, las rectas son secantes (z y t; z y r; z y s) Si el sistema no tiene solución, las rectas son paralelas (s y t) Si el sistema tiene infinitas soluciones, las rectas son coincidentes (r y s) Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores lo son. Su producto escalar tiene se ser 0. Dos rectas son paralelas o coincidentes sus vectores directores son proporcionales Dos rectas son secantes sus vectores directores son linealmente independientes POSICIÓN RELATIVA ENTRE RECTAS

8 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar DISTANCIAS EN EL PLANO Distancia entre dos rectas paralelas Es la longitud del segmento perpendicular a las dos rectas que les une. Esto se reduce a calcular la distancia entre un punto cualquiera de ellas y la otra. Distancia entre dos puntos A(a 1, a 2 ) y B(b 1, b 2 ) d(A, B) = |AB| =(b 1 - a 1 ) 2 + (b 2 - a 2 ) 2 Distancia entre un punto y una recta A(a 1, a 2 ) y la recta r d(A, r) = |AA 0 | Usando la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0 se puede usar: d(A, r) = | Aa 1 + Ba 2 +C A 2 + B 2 |


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