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PLANOS EN EL ESPACIO Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B) Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B) Semestre 99-00 B.

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1 PLANOS EN EL ESPACIO Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B) Algebra lineal (Ing.Sist.) Cálculo IV(G,B) Semestre B

2 Algebra lineal Planos en el espacio

3 Algebra lineal Planos en el espacio Tres puntos no alineados P, Q, R Eje X Eje Y Eje Z P R Q

4 Algebra lineal Planos en el espacio v u Un punto P y direcciones no paralelas u, v Eje X Eje Y Eje Z P

5 Algebra lineal Planos en el espacio Un punto P y un vector ortogonal Eje X Eje Y Eje Z P

6 Algebra lineal Planos en el espacio ¿Cuál es la condición geométrica que debe satisfacer un punto P para estar en el plano que pasa por P 0 y es ortogonal a ?

7 Algebra lineal Planos en el espacio P0P0 P (x,y,z) Eje X Eje Y Eje Z P-P o P(x,y,z) si y sólo si P-P o

8 Algebra lineal Planos en el espacio Ecuación del plano que pasa por P 0 (x o,y o,z o ) y es ortogonal a =(a,b,c) El punto P(x,y,z) si y sólo si P-P o, es decir si.(P-P o )=0 (a,b,c).(x-x o, y-y o, z-z o )=0. a(x-x o )+b(y-y o )+c(z-z o )=0 ax+by+cz=ax o +by o +cz o Si d= ax o +by o +cz o ax+by+cz=d Ecuación normal del plano

9 Algebra lineal Planos en el espacio ¿Cuál es la condición geométrica que debe satisfacer un punto P para estar en el plano determinado por las direcciones no paralelas u, v y el punto P 0 ?

10 Algebra lineal Planos en el espacio PoPo P u Eje X Eje Y Eje Z v tutu svsv tu+sv O PoPPoP

11 Algebra lineal Planos en el espacio Ecuación del plano que pasa por P 0 (x o,y o,z o ) con vectores directores u=(u 1,u 2,u 3 ) y v=(v 1,v 2,v 3 ) P(x,y,z) si y sólo si (x,y,z)=(x o,y o,z o )+t(u 1,u 2,u 3 )+s(v 1,v 2,v 3 ) Ecuaciones paramétricas del plano

12 Algebra lineal Planos en el espacio ¿Cuál es la condición geométrica que debe satisfacer un punto para estar en el plano que pasa por los puntos no alineados P,Q, R?

13 Algebra lineal Planos en el espacio P R Q Pasa por P con normal =(Q-P)x(R-P) Pasa por P con vectores directores u=(Q-P) y v=(R-P)

14 Algebra lineal Planos en el espacio Ecuación del plano que pasa por los tres puntos no alineados P(p 1,p 2,p 3 ), Q(q 1,q 2,q 3 ), R=(r 1,r 2,r 3 ) ax+by+cz=d Ecuación normal (a,b,c)=

15 Algebra lineal Planos en el espacio Ecuación del plano que pasa por los tres puntos no alineados P(p 1,p 2,p 3 ), Q(q 1,q 2,q 3 ), R=(r 1,r 2,r 3 ) Ecuaciones paramétricas

16 Algebra lineal Planos en el espacio Ejercicio Nº1 Encuentre el plano que pasa por los puntos P(2,0,1), Q(1,2,0), R(-3,2,1) de tres maneras distintas

17 Algebra lineal Planos en el espacio Ejercicio Nº2 Encuentre el plano que pasa por el punto P(-2,3,4) y es perpendicular a la recta que pasa por (4,-2,5) y (0,2,4)

18 Algebra lineal Planos en el espacio Ejercicio Nº3 Sea L: y : 3x-2y+6z=-5 Hallar la ecuación de la recta perpendicular al plano, que pasa por el origen. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L y pasa por el origen.

19 Algebra lineal Planos en el espacio Ejercicio Nº4 Sea L: y : x-y+z=1 Hallar la distancia de la recta L al plano.

20 Algebra lineal Planos en el espacio PQ=(-1,2,-1) y PR=(-5,2,0) =(2,5,8) 2x+5y+8z= x+5y+8z=12 Solución Nº1:

21 Algebra lineal Planos en el espacio u=(-1,2,-1) y v=(-5,2,0) Ecuaciones paramétricas Vectores directores del plano: Solución Nº1:

22 Algebra lineal Planos en el espacio Pasar de las ecuaciones paramétricas a la ecuación normal

23 Algebra lineal Planos en el espacio Un punto (x,y,z) en el plano debe satisfacer la ecuación: ax+by+cz-d=0 Como (2,0,1), (1,2,0) y (-3,2,1) están en el plano, se debe cumplir: Sistema homogéneo en la variables a,b,c,d que debe tener infinitas soluciones. Solución Nº1:

24 Algebra lineal Planos en el espacio Por lo tanto, el determinante de la matriz del sistema debe ser nulo 2x+5y+8z-12=0

25 Algebra lineal Planos en el espacio El vector director de la recta es el vector normal al plano. Como la recta pasa por (4,-2,5) y (0,2,4) Su vector director es: (4,-4,1) =(4,-4,1) 4(x+2)-4(y-3)+(z-4)=0 Ecuación del plano: 4x-4y+z+16=0 Solución Nº2:

26 Algebra lineal Planos en el espacio Solución Nº3: El vector director de la recta debe ser paralelo al vector normal al plano, por lo tanto =(3,-2,6). Como además debe pasar por el (0,0,0), la ecuación de la recta buscada es:

27 Algebra lineal Planos en el espacio Solución Nº3: Para encontrar el vector normal al plano tomamos primero dos vectores en el plano y como el (0,0,0) queremos que esté en el plano, esto equivale a tomar dos puntos cualesquiera sobre la recta, por ejemplo, para valores de t=0, 1 obtenemos u=(3,1,2) y v =(1,-1,6) u v =(8,-16,-4) Ecuación normal: 2x-4y-z=0

28 Algebra lineal Planos en el espacio Solución Nº3: Otra forma es tomar u=(3,1,2) y v =(1,-1,6) como los vectores directores del plano y hallar las ecuaciones paramétricas u v Ecuación paramétricas del Plano

29 Algebra lineal Planos en el espacio Solución Nº4: Vector director de la recta u=(1,2,1) Sustituimos las ecuaciones de L en la del plano y obtenemos: Vector normal del plano =(1,-1,1) (1,2,1).(1,-1,1)=0 u L y son paralelos d ¿(1+t)-(2+2t)+(3+t)=1? 2 1 La recta y el plano no se cortan

30 Algebra lineal Planos en el espacio Solución Nº4: Un punto de la recta Q=(1,2,3) Un punto del plano P=(1,1,1) PQ=(1,2,3)-(1,1,1)=(0,1,2) d P Q

31 Algebra lineal Planos en el espacio POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS PLANOS Paralelos: Sus vectores normales son paralelos Ortogonales: Sus vectores normales son ortogonales

32 Algebra lineal Planos en el espacio Un plano Son paralelos Una recta: Son secantes El conjunto vacío Son paralelos La intersección de dos planos puede ser:

33 Algebra lineal Planos en el espacio Una recta La recta está incluida en el plano Un punto: Son secantes El conjunto vacío El vector director de la recta es ortogonal al normal del plano La intersección de un plano y una recta puede ser:

34 Algebra lineal Planos en el espacio El ángulo entre dos rectas es el formado por sus vectores directores El ángulo entre dos planos es el formado entre sus vectores normales El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del formado entre el vector director de la recta y el vector normal al plano ANGULOS ENTRE PLANOS Y RECTAS


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