VECTORES LIBRES EN EL ESPACIO

Presentación del tema: "VECTORES LIBRES EN EL ESPACIO"— Transcripción de la presentación:

1 VECTORES LIBRES EN EL ESPACIO

2 Vectores en el espacio Llamaremos vector fijo a un segmento orientado. Si A, B son los puntos extremos, escribiremos A se llama origen y B extremo. Llamaremos módulo del vector a su longitud, dirección a la recta que lo contiene o cualquier paralela y sentido a la forma de recorrerlo. Dos vectores son equipolentes o equivalentes, si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se denomina vector libre. Lo denotaremos por , , ...

3 Suma de vectores libres
Propiedades: Interna. Asociativa. Conmutativa. Tiene elemento neutro que es el vector nulo. Todo vector tiene un opuesto que cumple + ( ) =

4 Producto por un escalar
Dados un vector libre y un número real a, se define como un vector que tiene: Como módulo Como dirección la misma que Como sentido: el mismo que si a es positivo y contrario al de si a es negativo.

5 Propiedades Distributiva respecto de la suma de vectores
Si a es un número real cualquiera y dos vectores libres : a . ( ) = a a Distributiva respecto de la suma de escalares Si a , b son números reales cualquiera y es un vector libre : ( a b ) = a b . Asociatividad mixta Si a , b son números reales cualquiera, un vector libre: Neutro

6 El conjunto de los vectores libres del espacio con las operaciones de suma y producto por un escalar, es un espacio vectorial que se denota por V3 y que se denomina espacio vectorial de los vectores libres del espacio Combinación lineal de vectores Es cualquier expresión de la forma: Siendo R y vectores libres. Vectores linealmente independientes: son linealmente independientes, si ninguno de ellos puede ponerse como combinación lineal de los demás

7 Sistema generador: constituyen un sistema generador, si cualquier vector libre puede expresarse como combinación lineal de ellos. Base constituyen una base, si son linealmente independientes y sistema generador. En V3, las bases están constituidas por tres elementos Componentes de un vector Fijada una base , para cualquier vector , existen tales que se llaman componentes de en la base dada.

8 Suma de vectores en forma de componentes
Fijada una base , si la suma Producto de un vector por un escalar en forma de componentes Fijada una base , si el producto

9 Sistema de referencia en el espacio
Fijada una base , y un punto O del espacio, el conjunto se llama referencia del espacio afín. Si los vectores de la base son ortogonales y de módulo 1, la referencia se llama ortonormal Coordenadas afines de un punto Fijada una referencia del espacio afín, se llaman coordenadas afines del punto P del espacio, a las componentes del vector en la base

10 Vector determinado por dos puntos
Fijada una referencia del espacio afín. Si

11 Se considera el espacio vectorial V3 de los vectores libres del plano
Se considera el espacio vectorial V3 de los vectores libres del plano. Llamaremos producto escalar a toda aplicación *: V3 x V3   verificando las siguientes condiciones:  , ,  V3: Distributiva respecto de la suma * ( ) = * * Conmutativa * = * Si a es un número real cualquiera: = * = *

12 ( V3 , * ) se llama espacio vectorial euclídeo.