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VECTORES LIBRES EN EL ESPACIO. Vectores en el espacio Llamaremos vector fijo a un segmento orientado. Si A, B son los puntos extremos, escribiremos. A.

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1 VECTORES LIBRES EN EL ESPACIO

2 Vectores en el espacio Llamaremos vector fijo a un segmento orientado. Si A, B son los puntos extremos, escribiremos. A se llama origen y B extremo. Llamaremos módulo del vector a su longitud, dirección a la recta que lo contiene o cualquier paralela y sentido a la forma de recorrerlo. Dos vectores son equipolentes o equivalentes, si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se denomina vector libre. Lo denotaremos por,,...

3 Suma de vectores libres Propiedades: Interna. Asociativa. Conmutativa. Tiene elemento neutro que es el vector nulo. Todo vector tiene un opuesto - que cumple + (- ) =

4 Producto por un escalar Dados un vector libre y un número real, se define como un vector que tiene: Como módulo Como dirección la misma que Como sentido: el mismo que si es positivo y contrario al de si es negativo.

5 Propiedades Distributiva respecto de la suma de vectores Si es un número real cualquiera y dos vectores libres :. ( + ) =. +. Distributiva respecto de la suma de escalares Si, son números reales cualquiera y es un vector libre : ( + ). =. +. Asociatividad mixta Si, son números reales cualquiera, un vector libre: Neutro

6 El conjunto de los vectores libres del espacio con las operaciones de suma y producto por un escalar, es un espacio vectorial que se denota por V 3 y que se denomina espacio vectorial de los vectores libres del espacio Combinación lineal de vectores Es cualquier expresión de la forma: Siendo R y vectores libres. Vectores linealmente independientes: son linealmente independientes, si ninguno de ellos puede ponerse como combinación lineal de los demás

7 Sistema generador: constituyen un sistema generador, si cualquier vector libre puede expresarse como combinación lineal de ellos. Base constituyen una base, si son linealmente independientes y sistema generador. En V 3, las bases están constituidas por tres elementos Componentes de un vector Fijada una base, para cualquier vector, existen tales que se llaman componentes de en la base dada.

8 Suma de vectores en forma de componentes Fijada una base, si la suma Producto de un vector por un escalar en forma de componentes Fijada una base, si el producto

9 Sistema de referencia en el espacio Fijada una base, y un punto O del espacio, el conjunto se llama referencia del espacio afín. Si los vectores de la base son ortogonales y de módulo 1, la referencia se llama ortonormal Coordenadas afines de un punto Fijada una referencia del espacio afín, se llaman coordenadas afines del punto P del espacio, a las componentes del vector en la base

10 Vector determinado por dos puntos Fijada una referencia del espacio afín. Si

11 Se considera el espacio vectorial V 3 de los vectores libres del plano. Llamaremos producto escalar a toda aplicación *: V 3 x V 3 verificando las siguientes condiciones:,, V 3: Distributiva respecto de la suma * ( + ) = * + * Conmutativa * = * Si es un número real cualquiera: = * = *

12 ( V 3, * ) se llama espacio vectorial euclídeo.


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