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Espacio afín 2º Bachillerato Tema 5 : apartado 5.1.

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1 Espacio afín 2º Bachillerato Tema 5 : apartado 5.1

2 Coordenadas en el espacio (x, y, z) son las coordenadas de P respecto del sistema de referencia R. Vector de posición de P Origen de coordenadas

3 Ejes coordenados. Planos coordenados Los tres vectores de la base B determinan con el origen O tres ejes de coordenadas OX, OY, y OZ. Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos coordenados del sistema de referencia.

4 Coordenadas de un vector libre cualquiera

5 Coordenadas del punto medio de un segmento

6 Elementos geométricos Los objetos o elementos geométricos elementales del espacio tridimensional son los puntos, las rectas, los planos, las curvas y las superficies. Estos elementos geométricos pueden determinarse mediante ecuaciones paramétricas. La dimensión del elemento coincide con el número de parámetros. Dimensión Rectas y curvas (dimensión 1) Planos y superficies (dimensión 2)

7 Rectas en el espacio: ecuación vectorial

8 Rectas en el espacio: ecuaciones paramétricas

9 Rectas en el espacio: ecuación en forma continua Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto P (x 0,y 0,z 0 ) y tienen por vector director (v 1,v 2,v 3 ) son: Las ecuaciones en forma continua de la recta r que pasa por P(x o, y o, z o ) y que tiene por vector director (v1, v2, v3) son: Despejando t en cada una de ellas e igualando, obtenemos las ecuaciones de la recta que no dependen de ningún parámetro

10 Rectas en el espacio: ecuaciones reducidas o implícitas De aquí obtenemos tres ecuaciones: Como la tercera ecuación es combinación lineal de la otras dos, suprimiendo una ellas, la tercera por ejemplo, y operando obtenemos: Este par de ecuaciones son las ecuaciones reducidas o implícitas de la recta. En general :

11 Ecuaciones de los ejes coordenados

12 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos (a 1, a 2, a 3 ) (b 1, b 2, b 3 ) Por tanto la ecuación de la recta será: (x, y, z) = (a 1, a 2, a 3 ) + t (b 1 –a 1, b 2 –a 2, b 3 –a 3 ) La recta r queda determinada por la siguiente determinación lineal: r(A, ) o por(B, )

13 Planos: ecuación vectorial Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente independientes. Se dice que a (A, v, w ) es una determinación lineal del plano alfa. Por tanto x – a = λ v + μ w Se observa además que X rango (AX, v, w) = 2 det (AX, v, w) = 0

14 Planos: ecuaciones paramétricas

15 Planos: ecuaciones de los planos coordenados

16 Ecuación del plano que pasa por tres puntos La determinación lineal de dicho plano será: Como los tres vectores están en el mismo plano, son dependientes y por lo tanto su ecuación se obtendrá desarrollando el siguiente determinante: Sean A, B y C tres puntos no alineados. Por tanto los vectores AB y AC no son paralelos. (a, b, c) (a", b", c") (a', b', c') X (x, y, z)

17 Posiciones relativas de dos planos Sean dos planos α: Ax + By + Cz + D = 0 y β: A'x+ B'y + C'z + D' = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean M y M* las matrices asociadas a dicho sistema. Sistema compatible indeterminado de rango 2 Sistema incompatible Sistema compatible indeterminado de rango 1 rango(M) = rango(M*) = 2rango(M) = 1; rango(M*) = 2 rango(M)= rango(M*) =

18 Posiciones relativas: tres planos (I) Sean π: Ax + By + Cz +D = 0 ; π ': A'x + B'y + C'z + D' = 0 ; π": A"x + B"y + C"z + D" = 0. Estudiar las posiciones relativas de estos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean M y M* las matrices asociadas a dicho sistema. Los tres planos tienen un punto en común Sistema compatible determinado Triedro 1 2a2a 2b2b Prisma Los tres planos no tienen puntos en común Sistema incompatible rango(M) = 2; rango(M*) = 3 Dos planos paralelos y un tercero secante a ellos Los tres planos no tienen puntos en común Sistema incompatible rango(M) = rango(M*)=3 rango(M)=2;rango(M*)=3

19 Sean π: Ax + By + Cz + D = 0 ; π': A'x + B'y + C'z + D' = 0 ; π": A"x + B"y + C"z + D" = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema. Posiciones relativas: tres planos (II) Los tres planos tienen infinitos puntos en común Sistema compatible indeterminado de rango 1 rango(M) = rango(M*) = 1 Tres planos coincidentes 3a 5 3b3b Tres planos distintos Los tres planos tienen una recta en común Sistema compatible indeterminado de rango 2 rango(M) = rango(M*) = 2 Dos planos coincidentes y un tercero secante a ellos Los tres planos tienen una recta en común Sistema compatible indeterminado de rango 2 rango(M) = rango(M*) = 2

20 Los tres planos no tienen puntos en común Sistema incompatible rango(M) = 1; rango(M*) = 2 Los tres planos no tienen puntos en común Sistema incompatible rango(M) = 1; rango(M*) = 2 Tres planos paralelos Dos planos coincidentes y un tercero paralelo a ellos 4a Sean π: Ax + By + Cz + D = 0, π': A'x + B'y + C'z + D' = 0, π": A"x + B"y + C"z + D" = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean M y M* las matrices asociadas a dicho sistema. 4b Posiciones relativas: tres planos (III)

21 Posiciones relativas: recta y plano Sea la recta r dada como intersección de dos planos ( ecuaciones implícitas de r): α: Ax + By + Cz + D = 0 y β : A x + B y + C z + D = 0 y el plano π: Ax + By + Cz + D = 0. Estudiar las posiciones relativas de recta y plano equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las tres ecuaciones anteriores. Sean M y M* las matrices asociadas a dicho sistema. Sistema compatible determinado Sistema compatible indeterminado de rango 2 Sistema incompatible rango(M) = rango (M*) = 3Rango(M) = 2; rango (M*) = 2 rango(M) = 2; rango (M*) = 3 Recta y plano secantes Recta contenida en el plano Recta y plano paralelos 1 2 3

22 Posiciones relativas: dos rectas (I) Sea r dada como intersección de los planos Ax + By + Cz + D = 0 y Ax + By + Cz + D = 0. Sea s dada como intersección de Ax + By + Cz + D = 0 y Ax +By + Cz +D = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean M y M* las matrices asociadas a dicho sistema. Las rectas tienen todos sus puntos comunes Sistema compatible indeterminado de rango 2 rango(M) = rango(M*) = 2 Rectas coincidentes 12 Rectas paralelas Las rectas no tienen puntos en común Sistema incompatible rango(M) = 2; rango(M*) = 3

23 Sea r dada como intersección de los planos Ax + By + Cz + D = 0 y Ax + By + Cz + D = 0. Sea s dada como intersección de Ax +By + Cz +D = 0 y Ax + By + Cz + D = 0. Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean M y M* las matrices asociadas a dicho sistema. rango(M= 3; rango(M*) = Rectas que se cruzan Sistema incompatible Las rectas no tienen puntos en común Posiciones relativas: dos rectas (II) Rectas secantes Las dos rectas tienen un punto en común Sistema compatible determinado rango(M) = rango(M*) = 3

24 Haces de planos Dado πAx+By+Cz+D=0 1 Haz de planos paralelos 2 Haz de planos secantes Los haces de planos se pueden expresar como Ax+By+Cz+ =0 con є R. DadosAx+By+Cz+D=0 A x+B y+C z+D =0 Los haces de planos se pueden expresar como Ax+By+Cz+D+ (A x+B y+C z+D )=0 Para que el haz quede completo hay que añadir: A x+B y+C z+D =0


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