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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA UNI- NORTE. MATEMÁTICA I UNIDADES A DESARROLLAR IV U Aplicaciones de la Derivada en una y varias variables I U Geometría.

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA UNI- NORTE

2 MATEMÁTICA I UNIDADES A DESARROLLAR IV U Aplicaciones de la Derivada en una y varias variables I U Geometría Analítica Vectorial II U Límite y continuidad de funciones en una y varias variables III U Derivada y Diferenciales de funciones en una y varias variables

3 I UNIDAD GEOMETRÍA ANALÍTICA VECTORIAL OBJETIVOS DE UNIDAD Utilizar el sistema coordenado rectangular en tres dimensiones para representar gráficamente lugares geométricos en el espacio Aplicar los algoritmos de la suma y resta vectorial así como sus propiedades y relaciones en ejercicios Aplicar el producto punto y producto cruz, así como sus relaciones y propiedades a problemas de trabajo físico, área, volumen y la determinación de la posición entre planos, rectas, rectas y planos

4 Determinar las ecuaciones cartesianas y vectoriales de la recta en el espacio y de planos Graficar rectas en el espacio, así como planos Diferenciar los distintos tipos de superficies, esferas cilindros y cuádricas a partir de sus ecuaciones Graficar cualquier superficie

5 I UNIDAD GEOMETRÍA ANALÍTICA VECTORIAL OBJETIVOS Representen correctamente puntos en el plano coordenado rectangular tridimensional Calculen correctamente distancia entre dos puntos y coordenadas del punto medio en 3D Determinen con precisión coordenadas de un vector, representación y módulo Demuestren respeto, disciplina, participación e integración al trabajo en equipo

6 SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR Un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio R3 se determina por una unidad lineal para las medidas de longitud y por tres ejes perpendiculares entre sí concurrentes en un punto y numerados en un orden determinado. El punto de intersección se llama origen y los propios ejes se llaman ejes coordenados, estos se denotan por OX,OY y OZ

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8 Representación de puntos en el plano R3

9 Los ejes coordenados determinan tres planos llamados planos coordenados, estos son: el plano OXY, OYZ y OXZ, a su vez los planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes. Los puntos en el sistema de coordenadas tridimensional se representan por medio de ternas. Distancia entre dos puntos Th. 1 Consideremos dos puntos P (x 1, y 1, z 1 ) y Q (x 2, y 2, z 2 ) la distancia esta dada por la fórmula: Esta fórmula es ampliación de la fórmula en dos dimensiones.

10 Distancia y punto Medio en R3 Las coordenadas del punto medio del segmento dirigido cuyos extremos son los puntos (x 1, y 1, z 1 ) y (x 2, y 2, z 2 ) son: Ejemplo: Localizar los siguientes pares de puntos, calcular la longitud del segmento que los une y las coordenadas de sus puntos medios.

11 Vectores de posición y trasladados Vectores fundamentales: Definición. Supongamos que se ha definido un sistema de coordenadas rectangulares. Se define el vector î como el vector unitario cuya dirección es la del semieje positivo X, el vector ĵ es el vector unitario cuya dirección es la del semieje positivo Y, y el vector k es el vector unitario cuya dirección es la del semieje positivo Z

12 Vectores de posición y trasladados Vectores en el espacio En el espacio los vectores se denotan por ternas ordenadas v=v 1,v 2,v 3. El vector cero se denota por 0= 0,0,0. Usando los vectores unitarios i=1,0,0, j=0,1,0 y k =0,0,1. La notación empleando los vectores unitarios canónicos o estándar para v es v= v 1 i+ v 2 j+ v 3 k. Las componentes de un vector dados dos puntos se obtiene restando las coordenadas del punto final menos el punto inicial, sea P(p 1,p 2,p 3 ), Q(q 1,q 2,q 3 ) así: v=v 1,v 2,v 3 =q 1 -p 1,q 2 -p 2,q 3 -p 3.

13 Vectores en el espacio. Sean u = y v = vectores en el espacio y sea c un escalar. Igualdad de Vectores: u = v sí y solo sí u 1 = v 1 u 2 =v 2 u 3 =v 3 Expresión mediante las componentes: Si v se presenta por el segmento de recta dirigido de P(p 1, p 2, p 3 ) a Q (q 1, q 2, q 3 ). Entonces: v = = Longitud: v = Vector unitario en la dirección de v:

14 Suma de vectores: v + v = Multiplicación por un escalar. cv = Hallar las componentes de un vector en el espacio. Ejemplo Hallar las componentes y la longitud del vector v que tiene punto inicial (-2, 3, 1) y punto final (0,-4,4) Después hallar un vector unitario en la dirección de v.

15 Definición de Vectores Paralelos. Dos vectores distintos de cero u y v son paralelos si hay algún escalar c tal que u = cv. Ejemp. El vector w tiene punto inicial (2, -1, 3) y punto final (-4,7,5). ¿Cuál de los vectores siguientes es paralelo a w? Ejemplo. Uso de vectores para determinar puntos colineales. Determinar si los puntos P (1,-2,3), Q (2,1,0) y R(4,7,-6) son colineales.

16 Ejemplo. Notación empleando los vectores unitarios canónicos. a) Exprese el vector v = 4i - 5k por medio de sus componentes. b) Hallar el punto final del vector v = 7i-j+3k, dado que el punto inicial es P(-2,3,5) Solución. a) Como falta j, su componente es 0 y v= 4i- 5k = b) Se necesita encontrar Q (q 1, q 2, q 3 ) tal que v = PQ = 7i-j+3k. Esto implica que q 1- - (-2)= 7, q 2 – 3 =-1 y q 3 -5 = 3. Por tanto, Q es (5,2,8)

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