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1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar FUNCIONES El dominio de una función es.

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1 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar FUNCIONES El dominio de una función es el conjunto original de la aplicación. En una función real de variable real, f(x), el dominio es el subconjunto A C R formado por todos los elementos x que tienen imagen y = f(x). Dom f(x) = {x R | existe y = f(x) R } El recorrido o imagen de una función es el conjunto imagen de la aplicación. En una función real de variable real, f(x), el recorrido o imagen es el subconjunto B C R formado por todos los elementos y para los cuales existe al menos un elemento x del dominio tal que f(x) = y, es decir, B = f(A). Rec f(x) = {y R | existe x Dom f(x) con f(x) = y} Una función es una aplicación entre dos conjuntos A y B, tal que a cada elemento de A (conjunto original) le corresponde un único elemento de B (conjunto final), de la siguiente forma: f: A B x y = f(x) y es la imagen por f de x x es la antiimagen de y por f Dada una función, f, para cada valor x A, existe un único elemento y = f(x) B. La afirmación inversa no siempre es cierta. Si f: A B y A y B son subconjuntos de R, la función se denomina función real de variable real.

2 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar CÁLCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN Funciones polinómicas f(x) = p 0 + p 1 x + p 2 x 2 + … + p n x n Dom f(x) = R Funciones racionales f(x) = Dom f(x) = {x R | q(x) 0} Funciones definidas a trozos Su expresión analítica es diferente para distintos valores reales. El dominio se determina uniendo los diferentes subconjuntos para los cuáles está definida. Ejemplo: dom f(x) = (-, 2] U (5, +) Funciones irracionales f(x) = Si n es par Dom f(x) = {x R | g(x) 0} Si n es impar Dom f(x) = Dom g(x) n g(x)

3 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar CÁLCULO DEL RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN Para calcular el recorrido de funciones podemos utilizar la gráfica y calcular la proyección sobre el eje de ordenadas. Rec f(x) = R – {0} Rec f(x) = (-, f(a)] Rec f(x) = [-1, 1] Rec f(x) = Z Recf(x) = {-2} U [-1, 1 2 ] Recf(x) = (- 2, 2 )

4 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN (I) Signo de una función Se trata de determinar para qué valores de su dominio es f(x) > 0 y f(x) < 0. f(x) > 0 si su gráfica está situada por encima del eje de abscisas f(x) < 0 si su gráfica está situada por debajo del eje de abscisas f(x) es creciente en (a, b) si para cualquier x 1, x 2, con x 2 > x 1, se cumple que f(x 2 ) f(x 1 ). En caso de que f(x 2 ) > f(x 1 ), la función es estrictamente creciente. Monotonía Es la variación de la función con respecto a la variable independiente x. f(x) es decreciente en (a, b) si para cualquier x 1, x 2, con x 2 > x 1, se cumple que f(x 2 ) f(x 1 ). En caso de que f(x 2 ) < f(x 1 ), la función es estrictamente decreciente. Periodicidad Una función es periódica de periodo T si f(x) = f(x + T) con x Є Dom f

5 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN (II) Acotación Función acotada superiormente f(x) k con x Є Dom f ; k es una cota superior de la función Función acotada inferiormente f(x) k con x Є Dom f ; k es una cota inferior de la función Función acotada |f(x)| k, con k positivo (f acotada superior e inferiormente) Simetrías Función par f(-x) = f(x) con x Є Dom f su gráfica es simétrica con respecto del eje de ordenadas Función impar f(-x) = - f(x) con x Є Dom f su gráfica es simétrica con respecto del origen de coordenadas

6 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar OPERACIONES CON FUNCIONES Potenciación de funciones (f g )(x) = [f(x)] g(x) donde f(x) > 0 con x Є Dom f Dom f g = Dom f Dom g Multiplicación de funciones (f · g)(x) = f(x) · g(x) Dom (f · g) = Dom f Dom g Tiene la propiedad asociativa, conmutativa, elemento neutro f(x) = 1 (f 1 ) y distributiva respecto de la adición [f · (g + h) = f · g + f · h] Adición de funciones (f + g)(x) = f(x) + g(x) Dom (f + g) = Dom f Dom g Tiene la propiedad asociativa, conmutativa, elemento neutro f(x) = 0 y elemento opuesto –f Resta de funciones (f - g)(x) = f(x) + g(x) Dom (f - g) = Dom f Dom g División de funciones Dom f g ={Dom f Dom g} – {x Domg | g(x) =0} f g (x) = f(x) g(x) Composición de funciones f compuesta de g (g f) x f(x) g[f(x)] = (g f)(x) Dom (g f) = Dom f f -1 (Dom g) f g

7 1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar FUNCIÓN INVERSA Función suprayectiva o exhaustiva si y solo si, su recorrido son todos los números reales [Rec f = R ] Función biyectiva si y solo si es inyectiva y suprayectiva al mismo tiempo Función inyectiva si y solo si, f(a) = f(b) a = b Cálculo de la función inversa El procedimiento es el siguiente: Se hace que f(x) = y Se intercambian x e y Se despeja y en función de x Dada una función inyectiva f(x), se denomina función inversa, f -1 (x), a aquella que cumple lo siguiente: (f f -1 )(x) = (f -1 f)(x) = x La función inversa de f es aquella que invierte (x, f(x)), es decir, a la imagen de x por f le hace corresponder de nuevo x.


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