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1 Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas TÓPICOS DE MATEMATICA 1 (E.P.E.) MA112 (EPE) UPC.

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1 1 Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas TÓPICOS DE MATEMATICA 1 (E.P.E.) MA112 (EPE) UPC

2 2 Competencias: 1. Define el espacio R n y sus propiedades 2. Explica el concepto de combinación lineal de vectores de R n. 3. Define base de un E.V., conjunto LI y LD. 4. Explica el concepto de coordenadas de un vector respecto a una base B de R n.

3 3 ESPACIO VECTORIAL R n INTRODUCCIÓN Se dá este nombre por que el conjunto de vectores de R n ( en particular R 2 o R 3 ) junto con las operaciones de adición y multiplicación por un escalar satisfacen una serie de axiomas. Así todo conjunto de entes matemáticos que cumplan estos axiomas se dice que es un espacio vectorial, esto permite extender muchas propiedades a una gran variedad de elementos matemáticos.

4 4 1. x+y está en R n. 2..x está en R n. 3. x + y = y + x 4. (x + y) +z = x+ (y + z) AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL Sean x,y,z vectores de R n ;, escalares. R n es un espacio vectorial, ya que satisface los sigientes axiomas

5 5 5. Existe un vector 0 de R n tal que : 0 + x= x+ 0= x 6. Para todo x de R n existe un elemento –x en R n tal que: x +(-x)= x= x 8. (. x)= ( ).x 9. ( + ).x=.x+. x 10. (x + y)=.x +.y

6 6 V V Definamos el vector como un segmento de recta dirigido. Sean P y Q dos puntos del espacio. El segmento de recta dirigido PQ, es el segmento de recta que va del punto inicial P al punto final Q. P Q Definición 1: (Definición Geométrica de un vector) VECTORES

7 7 A B R = A+B B A Método del triángulo OPERACIONES CON VECTORES Adición de vectores x z y Método del paralelogramo.

8 8 Definición: A los n números reales ordenados le llamaremos n-upla o vector n-dimensional. VECTOR n - DIMENSIONAL

9 9 IGUALDAD v (b, b,..., b ) n 21 u (a, a,..., a ) 21n u v a = b nn {

10 10 SUMA (b, b,..., b ) n 21 (a, a,..., a ) 21n + (a + b, a + b,..., a + b ) 2 1n 1 2n PRODUCTO POR UN ESCALAR 2 1 n C C C C (a, a,..., a ) 21n c

11 11 u (a,a,...,a ) v (b, b,..., b ) n21 n2 1 2 nn1 2 1 u.v a b + a b a b PRODUCTO ESCALAR

12 12 PRODUCTO ESCALAR

13 13 1. El producto escalar de dos vectores es un número real. 2. El producto escalar es positivo si y negativo si OBSERVACIONES:

14 14 4. Si los vectores son perpendiculares el producto escalar es cero y viceversa. 5. a. a = a 2 3. Si tienen la misma dirección y sentido y a. b = a b

15 15 Módulo de un vector en R 3 Dado el vector a = (a 1,a 2,a 3 ) de R 3 se define a la norma o módulo de a : p(a 1,a 2,a 3 ) z x y a1a1 a2a2 a3a3

16 16 Vectores unitarios: Son aquellos cuya norma es igual a la unidad. vectores canónicos Nota: En R 3 existen tres vectores que nos permiten representar cualquier otro vector como una combinación lineal de ellos. Se les llaman vectores canónicos y se representan por

17 17 VECTORES UNITARIOS I, J, K x z y i j k Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z respectivamente.

18 18 Paralelismo de vectores Dos vectores son paralelos entre sí si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo: Definición Dado:

19 19 COMBINACION LINEAL Se llama combinación lineal de V, V,.., V Dados los vectores V, V,..., V de R y sean a, a,..,a escalares. La expresión 1 2 n 2 n 1 1 n 2 a V + a V a V 2 n n n

20 20 EJEMPLOS: 1. Expresar el vector u =(- 3;4) como combinación lineal de los vectores a=(1;2) y b=(3;1). Solución: Se quiere que u = ma +n b es decir (-3;4) = m(1;2) +n (3;1) de donde: m=3, n =-2 luego: (-3;4) = 3(1;2) - 2 (3;1)

21 21 x y b 3 a a u -2 b u = 3 a - 2 b NOTA: La combinación lineal de dos vectores a y b siempre va a estar en el plano formado por ellos y en consecuencia cualquier vector del plano puede obtenerse (generarse) como la combinación lineal de dos vectores no paralelos.

22 22 INDEPENDENCIA LINEAl Antes de dar la definición, veamos los siguientes ejemplos geométricos. 1. Dados los vectores paralelos a y b Se tiene : a = t b Como a es una combinación lineal de b es decir a depende de b luego el conjunto { a, b} se dice que es LINEALMENTE DEPENDIENTE. b a

23 23 2. Dados dos vectores no paralelos a y b Como ninguno de ellos puede estar en terminos del otro como combinación lineal,es decir, son independientes cada uno, se dice que el conjunto {a,b} es LINEALMENTE INDEPENDIENTE b a

24 24 3. Dados los vectores a, b y c Donde: c = 3 a + 2 b ó a = - 2/3b+1/3c ó b =- 3/2a+1/2c b 3 a a c 2 b Como cualquiera de los vectores se puede expresar en terminos del los otros como combinación lineal se dice que el conjunto {a,b,c} es LINEALMENTE DEPENDIENTE

25 25 4. Dado el conjunto de vectores {a,b,c} contenido en el plano P a b c x z y ¿ Es LI o LD el conjunto de vectores {a,b,c} ? P

26 26 4. ¿Es LI o LD el conjunto de vectores {a,b,c} ? z a b c x y P ¿Se podra expresar el vector b en terminos de a y c ?

27 27 INDEPENDENCIA LINEAL INDEPENDIENTE si dada la ecuación {v, v,..., v } 1 2 k a v + a v a v kk 1 = 0 v, v,..., v 12k : VECTORES DE R, El conjunto n 12 a = a =... = a = 0 k 1 2 se llama LINEALMENTE y se llama LINEALMENTE DEPENDIENTE si en al menos a v + a v a v 122kk1 = 0 entonces un a i no es cero.

28 28 PROPIEDADES 1. Si {v, v,..., v } 12k es un conjunto L.I. de a v + a v a v 1 22kk 1 u = {a 1,a 2,...,a k } vectores de R n, y si u R n entonces existe un conjunto único de escalares {a 1,a 2,...,a k } tales que Es decir el vector u se expresa de forma única

29 29 2. Sea V = {v 1, v 2,..., v k } un conjunto de vectores en R n, donde k > n. Entonces V es linealmente dependiente. Nota :Un conjunto S de vectores linealmente independientes de R n contine a lo sumo n vectores.

30 30 3. k=n y det(v 1,v 2,...v k ) = 0 { v 1,v 2,...v k } es LI 4. 0 V R n V es LD

31 31 Definición:Un conjunto {v 1, v 2,..., v k } de vectores de R n se llama base de R n, si cada elemento de R n se puede expresar de manera única como combinación lineal de v 1, v 2,..., v k. PROPIEDAD: Todo conjunto de n vectores linealmente independientes de R n es una base de R n. BASE DE R n BASE DE R n

32 32 Un conjunto finito de vectores {V 1,V 2,...,V n } de R n es una BASE de R n si: 1. {V 1,V 2,..,V n } es linealmente independiente. 2. {V 1,V 2,..,V n } genera a R n. TEOREMA TEOREMA

33 33 PROPIEDAD: Un conjunto de vectores { V 1,V 2,...,V n } de R n es una BASE si y sólo si det(v 1,v 2,...v k ) = 0

34 34 Definición: El número de elementos de cualquier base de R n se llama dimensión del espacio vectorial R n. NOTA: En un espacio R n su dimensión es n.

35 35 COORDENADAS DE UN VECTOR EN R n Sea B = { v, v,..., v } una BASE de R n SEA U R n donde U = c V + c V c V COORDENADAS DE U EN BASE B U B = ( c 1, c 2,..., c n ) n nn 22


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