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Departamento de Matemáticas OPERACIONES CON VECTORES (incompleto) Autora: Mª Soledad Vega Fernández.

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1 Departamento de Matemáticas OPERACIONES CON VECTORES (incompleto) Autora: Mª Soledad Vega Fernández

2 Es otro vector que se obtiene de la siguiente forma: O bien Departamento de Matemáticas SUMA DE VECTORES

3 Es otro vector que se obtiene de la siguiente forma: Si k >0 ( 2 por ej.) PRODUCTO DE UN VECTOR ( ) POR UN ESCALAR (k) Departamento de Matemáticas Si k < 0 ( -2 por ej.)

4 PRODUCTOS DE VECTORES Producto escalar v · w: Producto mixto: [u,v,w] Es un número real Es un vector Es un número real Módulo: Dirección: Departamento de Matemáticas Sentido: El de avance de un sacacorchos que gira de v a w definido por: que se obtiene: α [u,v,w] = u ·( v x w) Producto vectorial v x w (o v w) v w α Perpendicular al plano que contiene a los vectores

5 Departamento de Matemáticas PRODUCTOS DE VECTORES : Expresiones analíticas Si los vectores están expresados en una base ortonormal, los productos quedan de la forma: Producto escalar v · w: Producto vectorial v x w: Vector cuyas componentes son los coeficientes de que se obtienen al desarrollar el: Producto mixto: [u,v,w] Es el nº que se obtiene al desarrollar el determinante:

6 PRODUCTOS DE VECTORES : Interpretación geométrica Producto escalar v · w: Producto vectorial v x w: AB w v v w h Módulo del vector v x w = Área del paralelogramo que tiene por lados v y w [u, v, w] = Volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores u,v y w Departamento de Matemáticas Producto mixto: Área baseAltura basealtura Proyección de w sobre v

7 PRODUCTOS DE VECTORES : Propiedades Departamento de Matemáticas Producto escalar: Módulo de un vector Módulo de

8 Departamento de Matemáticas PRODUCTOS DE VECTORES

9 Departamento de Matemáticas PRODUCTOS DE VECTORES

10 Departamento de Matemáticas Ejercicio nº 1.- a) Halla un vector unitario que sea perpendicular a (3, -1, 1) y a (1, -2, 0). PRODUCTOS DE VECTORES : Ejercicios Solución: a) Un vector perpendicular a los dos dados es: (3, -1, 1) x (1, -2, 0) = (2, 1, -5) Dividiendo por su módulo, tendrá módulo 1: También cumple las condiciones su opuesto: b) En general, no es cierto. Por ejemplo:

11 Departamento de Matemáticas Ejercicio nº 2.- b) ¿Cuánto valen cada uno de los siguientes productos mixtos?: PRODUCTOS DE VECTORES : Ejercicios Solución: de su producto mixto: b) Utilizando las propiedades de los determinantes, tenemos que:

12 Departamento de Matemáticas PRODUCTOS DE VECTORES : Ejercicios Ejercicio 3.- Solución: Hay dos soluciones:

13 Departamento de Matemáticas PRODUCTOS DE VECTORES : Ejercicios Ejercicio nº 4.- Solución: vectorial: Ejercicio nº 3.- El volumen del paralelepípedo determinado por ellos. Solución: Es igual al valor absoluto de su producto mixto :

14 Departamento de Matemáticas


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