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Integral Definida y Cálculo de Áreas. Área encerrada por una parábola Definición del área encerrada por una función. Integrales y primitivas.

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1 Integral Definida y Cálculo de Áreas. Área encerrada por una parábola Definición del área encerrada por una función. Integrales y primitivas.

2 Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas Cálculo de áreas Consideramos el problema de determinar el área encerrada por la gráfica de la función f(x)= x 2 el eje X y las rectas x=0 y x=1. Cuanto mayor sea el número n de rectángulos que tomemos, mejor será la aproximación. Determinaremos el área aproximando la región por rectángulos, cuya área es fácilmente computable. Cuanto más pequeña sea la base de estos rectángulos, más precisa será la aproximación. Finalmente, en el límite, obtendremos el área que estamos buscando. 10 y=x2y=x2

3 Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas Cálculo de áreas(2) Altura del rectángulo k.Base del rectángulo k. Si A es el área encerrada por la función, observamos que s n

4 Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas Cálculo de áreas(3) Podemos calcular esto directamente usando la fórmula que vimos anteriormente para sumar cuadrados. Fórmula de la suma

5 Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas Cálculo de áreas(4) El área que encierra la curva y=x 2 y el eje X en el intervalo [0,1] es: A=1/ y=x2y=x2 Conclusión

6 Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas Área encerrada bajo la gráfica de una función Teorema Las consideraciones anteriores estaban basadas en la idea intuitiva de lo que es el área encerrada por una función. Precisamos todo esto en el siguiente resultado, aunque no lo demostraremos. Definición Suponiendo que f(x) 0 para todo x, el resultado de estos límites es el área encerrada por la gráfica de la función en el intervalo [a,b]. Sea, y k= 0,1, 2,…,n. Supongamos que f es continua en el intervalo [a,b]. Entonces:

7 Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas La Integral (1) Teorema Definición Notation El resultado de estos límites es la integral de la función f en el intervalo [a,b]. Supongamos que f es continua en el intervalo [a,b]. Entonces:

8 Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas La Integral (2) Observación Eligiendo un punto cualquiera z k [x k-1, x k ] para cada k=1,2,…,n, se verifica El resultado anterior muestra que, para funciones continuas, se tiene: Esta es una observación importante, ya que nos permitirá aproximar numéricamente integrales que no podemos calcular de otra forma.

9 Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas Ejemplos (1) Ejemplo 1 Solución Por definición Conclusión Ahora aplicamos la fórmula para la suma de cuadrados.

10 Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas Ejemplos (2) Ejemplo 2 Solución Conclusión a0b El área roja bajo la gráfica de x 2 en [a,b] equivale a calcular el área de [0,b] y restarle el área de [0,a].

11 Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas Integrales y primitivas Expresando el resultado anterior de la siguiente forma: observamos que la integral define la función: Si derivamos se tiene : F(x) = x 2, por lo que la función F es una primitiva de la función f(x) = x 2. Este método para calcular integrales usando la fórmula de la suma, se puede emplear para demostrar que, para cualquier polinomio p, la integral es una primitiva de p.

12 Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas Teorema Fundamental del Cálculo Teorema En las siguientes secciones se hará una demostración de este resultado. Si f una función continua entonces la función es una primitiva de la función f, es decir, F(x) = f(x). Recíprocamente, si F es cualquier primitiva de f,

13 Cálculo en una variable Autor: Mika Seppälä Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa


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