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MATEMÁTICAS II. Integral definida Si la función f está definida por la ecuación: y= f(x). Entonces la diferencial dey denotada por dy, esta dada por:

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1 MATEMÁTICAS II

2 Integral definida Si la función f está definida por la ecuación: y= f(x). Entonces la diferencial dey denotada por dy, esta dada por: dy= f(x) x donde x está en el dominio de f´y x es un incremento arbitrario.

3 Antidervadas Una función f se denomina antiderivada de la función en un intervalo \ si f´(x) =f (x) para todo valor de x en \. Si f es la función definida es así: F(x)= 4x³ + x ² + 5 f´(x)= 12 x² + 2x. Si f es la función definida por: - 17 F(x)= 4x³ + x² f´(x) = 12 x² + 2x. En realidad, cualquier función determinada por: F(x)= 4x³ + x² + C

4 La derivación o integral, es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada. d(f(x))= f(x) + C Esta ecuación se antideriva la diferencia de una función, se obtiene esa función más una constante arbitraria. De este modo, puede considerarse que el símbolo para antiderivación representa la operación inversa a la operación derivada denotada por d para calcular una diferencia.

5 La antiderivación se considera como la operación para determinar el conjunto de todas las funciones que tiene una derivada dada. Ejemplo: Suponga que se debe obtener una derivada particular que satisfaga la ecuación f´(x)= 2x y la condición inicial de que y= 6 cuando x= 2 Antiderivada 2x= x², 6= 4 + C, C = 2

6 En cualquier punto (x y) de una curva particular la recta tangente tiene una apéndice igual a 4x- 5. si la curva contiene al punto (3, 7) obtenga su ecuación 4x-5=2x² -5x + C 7=2(9)-5(3) + C C = 4

7 Integrales Se tiene una idea intuitiva de que el área de una figura geométrica es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada. Se sabe que el área de un rectángulo es el producto de su largo y su ancho, y el área de un triangulo es la mitad del producto de sus longitudes de su base y de su altura. El área de un polígono puede definirse como la suma de las áreas de los triángulos en que puede ser descompuesto.

8 Se motivo geométricamente la definición de la derivada de una función como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función. En el estudio del área se trataran sumas de muchos términos de modo que se introduce una anotación llamada sigma.

9 Integral Definida Si f es una función definida en el intervalo cerrado [a, b], entonces la integral definida de a b, esta dada por: f(x) dx= lim f(Wi) iX La función f es integrable en el intervalo cerrado, equivale a la oración la integral definida de f de ab existe. Si una función es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces es integrable en [a, b]. b a

10 La condición de que f es continua, es suficiente para garantizar que f es integrable más no es una condición necesaria para la existencia de la integral definida. El limite empleado para definir la medida del área de una región es un caso especial del limite para definir la integral definida. En el estudio de área en intervalo [a, b] se divide en n sus intervalos de igual longitud. Tal participación del intervalo [a, b] se llama partición regular.

11 f(x) dx= lim f(wi) x Además x= b-a/n y n= b-a/ Así x=0 y lim n = - Sea f una función continua en [a, b] y f(x) >= 0 para toda x en [a, b]. Sea R la región limitada por la curva y=f(x) el eje x y las rectas x=a y x=b. entonces la medida a del área de la región R esta dada por: A= lim f(Wi) ix f(x) dx a b a b

12 Si las funciones f y g son integrales en [a, b], entonces f + g es integrable en [a, b] y [ f (x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx Si la función f es integrable en los intervalos cerrados [a, b], [a, c], [c, b], y entonces f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx Si las funciones f y g son integrables en el ntervalo cerrado [a, b] y si f(x) > = g(x) para toda x en [a, b], entonces: f(x) dx >= g(x) dx a b a b a b a b a c c b a b a b

13 Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Si m y M son, respectivamente los valores d función mínimo absoluto y máximo absoluto de f en [a, b] de modo que. m<= f(x) <= M m(b-a)<= f(x) dx<= M(b-a) Si la función f es integrable en el intervalo cerrado [a, b], entonces el valor promedio de f en [a, b] es: f(x) dx/b-a a b a b

14 Áreas de Curvas Ahora considere dos funciones f y g continua en el intervalo cerrado [a, b] tales que f(x) g(x) para toda x en [a, b]. Se desea saber el área de la región limitada por las dos curvas y=f(x) y y=g(x) y las dos rectas x=a y x=b. Como f y g son continuas en [a, b], también es f-g; por tanto el limite (l) existe y es igual a la integral definida. Área de la region limitada por curvas y= x² y y= x² + 4x A² 0 [ f(x)-g(x)] dx

15 La altura del cilindro, es la distancia perpendicular entre los planos de R1 y R2 y la base del cilindro es r1 o R2. si la base del cilindro recto es una región limitada por un rectángulo se tiene un paralelipedo rectangular, y si la base es una región acotada por una circunferencia, se tiene un cilindro rectangular recto. Se dice que un solido es un cilindro recto si esta limitado por dos regiones planas congruentes R1 y R2, que pertenecen a dos planos paralelos, y por una superficie lateral generada por un segmento rectilíneo, que tiene sus extremos en la frontera o limites de R1 y R2, el cual se desplaza siempre en forma perpendicular a los planos R1 y R2.

16 Si el área de la base de un cilindro recto es a unidades cuadradas y su altura es h unidades y si v unidades cubicas es su volumen, entonces: V=Ah Sea S un solido tal que S esta entre dos planos perpendiculares al eje x en a y b. Si la medida del área de la selección plana S, perpendicular al eje en x, está dado por A(x) donde A es continua en [a, b], entonces la medida del volumen esta dada por: V=lim A(Wi) ix= A(x) dx a b

17 El termino rebanado se utiliza cuando se aplica esta para calcular, el volumen de un solido. El proceso es similar al rebanado de una hogaza (rebanada) de pan en muchas proporciones muy delgadas de modo que todas las proporciones juntas constituye la hogaza completa. Un cilindro circular recto, que tiene una altura h unidades y un radio de la base de r unidades, con los ejes coordenadas dispuest0 de modo que el origen esta en el centro de una base y su altura se mide a lo largo del lado positivo del eje x. una sección plana a distancia de x unidades del origen tiene un área de A(x) unidades cuadradas. A(x)= r²

18 Integrales Impropias Considere el problema de calcular el área de la región limitada por la curva y=-x, el eje y, el eje x y la recta x=b, donde b>0. Definición de Integral Impropia con Limite Superior Infinito: si f es continua para toda x a, entonces a f(x) dx= lim/b f(x) dx si este limite existe Definición de Integral Impropia con Limite Inferior Infinito: si f es continua para toda x = b, entonces f(x) dx= lim/a f(x) dx Si este limite existe - a


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