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Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM) Integrales definidas. Teoremas.

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1 Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM) Integrales definidas. Teoremas 2º Bachillerato

2 Esquema

3 Área bajo una curva Suponiendo f(x) acotada y positiva, la región limitada por la gráfica de f y el eje OX en el intervalo [a, b] se denota por R(f; [a, b]).

4 Sumas de Riemann Las sumas inferiores(suma de los rectángulos) s(f; P n ) = m 1. x 1 + m 2. x m n. x n Las sumas superiores (suma de los rectángulos superiores) se expresan así S(f; P n ) = M 1. x 1 + M 2. x M n. x n Cualquiera de los valores s(f; P n ) o S(f; P n ) es una aproximación al área R(f; [a, b] ) Sea m i el mínimo de f(x) en I i = [x i-1, x i ] Sea M i el máximo de f(x) en I i = [x i-1, x i ] Como la función es contínua en cada intervalo existen un mínimo y un máximo (Tª de Weiersstra)

5 Cálculo de áreas En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso calcular el área encerrada por varias curvas. Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y las abscisas entre los valores x = a, x = b. Inicialmente calcularemos el área mediante aproximaciones Error que se comete al tomar una por otra

6 Integral definida Cuando se aplica el proceso anterior a cualquier función (no necesariamente positiva) en el intervalo [a, b] obtenemos las sumas superiores e inferiores de Riemann sobre la partición P n. s(f; P n ) = m 1. x 1 + m 2. x m n. x n S(f; P n ) = M 1. x 1 + M 2. x M n. x n Sea m i el mínimo de f(x) en I i = [x i-1, x i ] Sea M i el máximo de f(x) en I i = [x i-1, x i ]

7 Integral definida y área bajo una curva I f(x) 0 x [a, b] f(x) R f(x) 0 x [a, b]

8 Integral definida y área bajo una curva II Si f(x) toma valores positivos y negativos en el intervalo [a, b], se calculan cada una por separado y se suman los resultados teniendo en cuenta los signos.

9 Propiedades de la integral definida

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11 Función área o función integral Dada una función f(x) continua y positiva en [a, b], se define la función integral F(x) como la función que mide el área sombreada bajo f. Se representa por:

12 Interpretación geométrica (para funciones positivas) Entre los rectángulos abB'A (rojo) y abBA(azul) existe un rectángulo intermedio (verde) que tiene la misma área que el área del recinto R(f; [a, b]). La altura de este rectángulo es precisamente f(c). Por tanto R 1 = R 2 Teorema del valor medio: interpretación geométrica Enunciado: Si f es continua existe c [a,b] en el que

13 a b m M c ¡¡Atención!! Puede haber varios puntos, en los que la función alcanza el valor medio. Teorema del valor medio para integrales Demostración: área pequeña < A.curva < área grande

14 xx+h Teorema fundamental del cálculo. Interpretación geométrica Sea f una función continua, positiva y creciente en el intervalo (a,b). Sea F la función que mide el área sombreada hasta x. En el límite cuando h tiende a cero, F(x) coincide con f(x) X Y área pequeña < A.curva < área grande

15 Teorema fundamental del cálculo Enunciado: Sea f una función continua, positiva y creciente en el intervalo (a,b). La función F que mide el área sombreada hasta x, es la primitiva de f, es decir F(x) = f(x). Dem.: ac b Si h tiende a 0 c tiende a x por lo que f(x)=F(x)

16 Regla de Barrow Como F(x) (función de áreas) es también una primitiva de f(x) en [a, b], F(x) y G(x) se diferencian en una constante: por tanto F(x) = G(x) + C. Como F(a) = 0 C = – G(a). Por tanto F(x) = G(x) – G(a). Para x = b, F(b) = G(b) – G(a). Demostración : Por tanto F(b) = = G(b) - G(a)

17 El método de «cambio de variable» para integrales definidas Cambio u = 5 + x 2 = g(x) du = 2xdx g(–5) = 30; g(8) = Ejemplo: –5 8 x (5 + x 2 ) 2 dx =

18 Área del recinto limitada por una función – + – + X Y f(x) c d e a b R

19 Área del recinto limitado por dos funciones

20 Área del recinto limitado por dos curvas: ejemplo Calcula el área de la región limitada por las curvas y = x 3 – 6x 2 + 9x e y = x. R y = x 3 – 6x 2 + 9x y = x 4 2 x 3 +6x 2 -9x dxx


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