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Alessandra Zurita Cahill La Integral definida y sus aplicaciones.

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Presentación del tema: "Alessandra Zurita Cahill La Integral definida y sus aplicaciones."— Transcripción de la presentación:

1 Alessandra Zurita Cahill La Integral definida y sus aplicaciones

2 Integral definida: definición La integral definida se define como: Donde F(x) = f(x) y además f(x) es una función continua y finita en el intervalo de integración [a; b]. a y b reciben el nombre de extremo inferior y superior de integración, respectivamente.

3 Área como límite de una suma Considere la región definida por la gráfica de la función y = f(x), el eje X y las verticales x = a y x = b, siendo f(x) 0 y f continua en el intervalo [a; b]. Para abordar el problema de hallar el área de dicha región, la relacionaremos con áreas de figuras conocidas, por ejemplo rectángulos

4 Ejemplo 1: La siguiente figura muestra la región cuya área se desea calcular El área de una región podrá plantearse por una integral definida: A = f(b) – f (a)

5 Dividiremos dicha región en rectángulos verticales. Por ejemplo... n = 3 rectángulos

6 n = 6 rectángulos

7 n = 12 rectángulos

8 n = 24 rectángulos

9 n = 48 rectángulos

10 n = 99 rectángulos

11 La integral definida plantea el límite de una suma de áreas. Interpretación geométrica de la integral definida altura ancho Suma desde a hasta b

12 Ejemplo 2 ¿De cuántas formas podemos calcular el área R? f(x) = 2x 0 2 R Forma 1: Base*altura/2 2*4/2=4 u 2 Forma 2: integral definida

13 Como acaba de verse, el área de una región podrá plantearse como el límite de una suma de áreas. Este límite está dado por la integral definida: Siempre que f(x) sea continua en [a; b] y positiva en ese intervalo.

14 ¿Cómo está definida el área sombreada de los siguientes gráficos? Analicemos los siguientes ejemplos…….

15 Ejemplo 3: área debajo del eje X La altura no puede ser negativa Respuesta:

16 Ejemplo 4: área por encima y debajo del eje X La altura no puede ser negativa Respuesta:

17 Ejemplo 5: área entre dos curvas ¿Cómo podemos aplicar los conocimientos previos a este gráfico? Si se sabe que:

18 Ejemplo 5 (recordando..) El área bajo la curva f(x) es… El área bajo la curva g(x) es…

19 Ejemplo 5 Respuesta:

20 Aplicaciones de la Integral Definida

21 1. Excedente del Consumidor 2. El Excedente del Productor 3.Estimación del cambio neto, a partir de la razón de cambio, en el valor de reventa de bienes capitales o en la utilidad, ingresos y costos de una empresa Aplicaciones de la Integral Definida 4.Estimación del exceso de utilidad de un plan de inversión, respecto de otro

22 ANÁLISIS 1: Recordando el concepto de la demanda Una curva de demanda resume la relación inversa existente entre precios y cantidades. Una curva de demanda refleja las cantidades que están dispuestos a comprar los consumidores, ante determinados precios. Una curva de demanda representa la disponibilidad marginal de gastar de parte del consumidor. Demanda Alimentos (unidades mensuales) Precio de los alimentos G E F 2,00$ ,00$ 0,50$

23 ANÁLISIS 2: La disponibilidad total a gastar de los consumidores P S/. por unidad ……. Demanda q Generalizando: En el ejemplo….DTG La disponibilidad total a gastar de los consumidores refleja la utilidad total que alcanzan los consumidores. La disponibilidad total a gastar de los consumidores está representada por toda el área de la región que está por debajo de la curva de demanda

24 ANÁLISIS 3: El gasto de los consumidores Oferta E q Demanda ……. P S/. por unidad Si se define al gasto como p.q.... ¿Cuál sería el gasto efectuado por los consumidores en este ejemplo? RTA: S/. 8 ¿Cuál sería el área respectiva? Gasto RTA….

25 ANÁLISIS FINAL: El excedente de los consumidores q Demanda ……. P S/. por unidad q Demanda ……. P S/. por unidad Análisis 2 La disponibilidad a gastar en este caso es…. Gasto Análisis 3 El gasto efectivo (lo que realmente gastan) en este caso es…. = 8u 2 Finalmente…. - Todos aquellos consumidores que estuvieron dispuestos a pagar un precio mayor que el del mercado (S/.2 por unidad), se benefician El área que representa dicho excedente es el EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR : Área de Disponibilidad total – Área de Gasto

26 Resultado del ejemplo En este ejemplo… Generalizando: p = D(q) 2 04 q p EC

27 La ecuación de demanda para un producto es p = D(q) = -q 2 +25, para 0 < q < 5. Sabiendo que p es el precio por unidad en dólares y q la cantidad de unidades demandadas. (a) ¿Cuál es la disponibilidad total de gasto de los consumidores de este mercado, si se sabe que el precio de mercado asciende a $9? (b) ¿Cuál es el EC? Ejercicio Matemático

28 Problemas de texto : Haeussler, Jr; Matemáticas para administración y economía; páginas Ejercicios del libro


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