Alessandra Zurita Cahill

Presentación del tema: "Alessandra Zurita Cahill"— Transcripción de la presentación:

1 Alessandra Zurita Cahill
La Integral definida y sus aplicaciones

2 Integral definida: definición
La integral definida se define como: Donde F’(x) = f(x) y además f(x) es una función continua y finita en el intervalo de integración [a; b]. a y b reciben el nombre de extremo inferior y superior de integración, respectivamente.

3 Área como límite de una suma
Considere la región definida por la gráfica de la función y = f(x), el eje X y las verticales x = a y x = b, siendo f(x) ≥ 0 y f continua en el intervalo [a; b]. Para abordar el problema de hallar el área de dicha región, la relacionaremos con áreas de figuras conocidas, por ejemplo rectángulos

4 Ejemplo 1: La siguiente figura muestra la región cuya área se desea calcular
El área de una región podrá plantearse por una integral definida: A = f(b) – f(a)

5 Dividiremos dicha región en rectángulos verticales. Por ejemplo ...

6 n = 6 rectángulos

7 n = 12 rectángulos

8 n = 24 rectángulos

9 n = 48 rectángulos

10 n = 99 rectángulos

11 Interpretación geométrica de la integral definida
La integral definida plantea el límite de una suma de áreas. Suma desde “a” hasta “b” altura ancho

12 Forma 2: integral definida
Ejemplo 2 ¿De cuántas formas podemos calcular el área “R”? f(x) = 2x Forma 1: Base*altura/2 2*4/2=4 u2 Forma 2: integral definida R

13 Como acaba de verse, el área de una región podrá plantearse como el límite de una suma de áreas. Este límite está dado por la integral definida: Siempre que f(x) sea continua en [a; b] y positiva en ese intervalo.

14 ¿Cómo está definida el área sombreada de los siguientes gráficos
¿Cómo está definida el área sombreada de los siguientes gráficos? Analicemos los siguientes ejemplos…….

15 Ejemplo 3: área debajo del eje X
La altura no puede ser negativa Respuesta:

16 Ejemplo 4: área por encima y debajo del eje X
Respuesta: La altura no puede ser negativa

17 Ejemplo 5: área entre dos curvas
¿Cómo podemos aplicar los conocimientos previos a este gráfico? Si se sabe que:

18 Ejemplo 5 (recordando..) El área bajo la curva f(x) es…
El área bajo la curva g(x) es…

19 Ejemplo 5 Respuesta:

20 Aplicaciones de la Integral Definida

21 1. Excedente del Consumidor
Aplicaciones de la Integral Definida 1. Excedente del Consumidor 2. El Excedente del Productor 3.Estimación del cambio neto, a partir de la razón de cambio, en el valor de reventa de bienes capitales o en la utilidad, ingresos y costos de una empresa 4.Estimación del exceso de utilidad de un plan de inversión, respecto de otro

22 ANÁLISIS 1: Recordando el concepto de la demanda
Precio de los alimentos Una curva de demanda resume la relación inversa existente entre precios y cantidades. G E F 2,00$ 4 12 20 1,00$ 0,50$ Una curva de demanda refleja las cantidades que están dispuestos a comprar los consumidores, ante determinados precios. Demanda Una curva de demanda representa la disponibilidad marginal de gastar de parte del consumidor. Alimentos (unidades mensuales)

23 ANÁLISIS 2: La disponibilidad total a gastar de los consumidores
S/. por unidad ……. Demanda q En el ejemplo….DTG Generalizando: La disponibilidad total a gastar de los consumidores refleja la utilidad total que alcanzan los consumidores. La disponibilidad total a gastar de los consumidores está representada por toda el área de la región que está por debajo de la curva de demanda

24 ANÁLISIS 3: El gasto de los consumidores
q Demanda ……. P S/. por unidad 4 3 2 Oferta Si se define al gasto como p.q.... ¿Cuál sería el gasto efectuado por los consumidores en este ejemplo? RTA: S/. 8 ¿Cuál sería el área respectiva? RTA…. E Gasto

25 ANÁLISIS FINAL: El excedente de los consumidores
La disponibilidad a gastar en este caso es…. q Demanda ……. P S/. por unidad 4 3 2 q Demanda ……. P S/. por unidad 4 3 2 Análisis 2 El gasto efectivo (lo que realmente gastan) en este caso es…. Análisis 3 = 8u2 Finalmente…. - Todos aquellos consumidores que estuvieron dispuestos a pagar un precio mayor que el del mercado (S/.2 por unidad), se benefician El área que representa dicho “excedente” es el EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR : Área de Disponibilidad total – Área de Gasto Gasto

26 Resultado del ejemplo En este ejemplo… Generalizando: p p = D(q) EC 2
4 q p EC

27 La ecuación de demanda para un producto es p = D(q) = -q2+25, para
Ejercicio Matemático La ecuación de demanda para un producto es p = D(q) = -q2+25, para 0 < q < 5. Sabiendo que p es el precio por unidad en dólares y q la cantidad de unidades demandadas. (a) ¿Cuál es la disponibilidad total de gasto de los consumidores de este mercado, si se sabe que el precio de mercado asciende a $9? (b) ¿Cuál es el EC?

28 Ejercicios del libro Problemas de texto : Haeussler, Jr; “Matemáticas para administración y economía”; páginas