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@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.T.1 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Tema 16.5 * 2º BCT.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.T.1 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Tema 16.5 * 2º BCT

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.T.2 SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Imaginemos un arco de la curva expresada de forma explícita y = f(x). La hacemos girar alrededor del eje de abscisas entre x=a y x=b. Se habrá generado un cuerpo de revolución ( puede ser un cilindro, un cono, un tronco de cono, una esfera, un balón de rugby, o miles más de todas las formas imaginables ). El área de la superficie así generada por la curva y = f(x) definida en un intervalo [a, b], al girar en torno del eje OX se calcula con la formula: b b Área = 2.π. y.(1+(y) 2 )dx = 2.π. f(x). (1+ [ f (x) ] 2 ) dx a a cuyos pasos para resolver la integral son los mismos que para el cálculo de áreas, sin más que hallar y =f(x)=dy/dx y elevarla al cuadrado previamente.

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.T.3 Hallar el área de la curva: y= x Entre los puntos A(0,0) y B(4,2) El área generada será: 4 A = 2.π. f(x). (1+ [ f (x) ] 2 ) dx 0 y = 1 / 2. x 4 A = 2.π. x. [ 1 + (1 / 2. x) 2 ]. dx = = 2.π. x. [ / 4x ]. dx = 2.π. [ x + 1 / 4 ]. dx ; 0 0 4,25 4,25 Cambio: x+0,25 = t ; dx = dt 2.π. t. dt = 2.π.(2/3).[ t 3/2 ] = 36,177 0,25 0,25 EJEMPLO_1 y= x x 2 -2

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.T.4 Hallar el área de la curva: y= x 2 Entre los puntos A(0,0) y B(2,4) El área generada será: 2 A = 2.π. f(x). (1+ [ f (x) ] 2 ) dx,, y= 2x A = 2.π. x 2 [ 1 + (2x) 2 ]. dx = 2.π. x 2. (1 + 4.x 2 ) dx = … 0 0 EJEMPLO_2 y= x x 4

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.T.5 Hallar el área engendrada por la rotación entorno al eje X de la curva: 9.y 2 = x.(3 – x) 2 y 2 = (1/9).x. (3 – x) 2 Corta en x= 0 y en x = 3 y=± (1/3). x. (3 – x) Consideramos la rama positiva. y = (1/3). (1 / 2 x). (3 – x) + (1/3). x. (– 1) 3 – x x (y ) 2 = ( – ) 2 6 x 3 El área será: 3 (3 – x) 2 x 3 – x A = 2.π (1/3). x. (3 – x). [ – ]. dx = 0 36.x x + 9 – 6x + x x 2 – 12.x + 4x 2 = 2.π (1/3). x. (3 – x). [ ]. dx 0 36.x EJEMPLO_3

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.T.6 … 3 9.x x + 9 = 2.π (1/3). x. (3 – x). [ ]. dx 0 36.x 3 x 2 + 2x + 1 = 2.π (1/3). x. (3 – x). [ ]. dx 0 4.x 3 (x + 1) = 2.π (1/3). x. (3 – x) dx 0 2. x 3 = 2.π (1/6). (3 – x). (x + 1). dx 0 3 = 2.π (1/6). (3 – x). (x + 1). dx = 2.π (1/6). (2.x + 3 – x 2 ) dx = 2.π. (1/6).[ x 2 + 3x – (1/3).x 3 ] = 3.π u

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.T.7 LONGITUD DE UN ARCO LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA EN EL PLANO Sea una curva (función) expresada en forma explícita: y = f(x). Si la función, en lugar de representar una curva, representara a una línea recta, la longitud del segmento AB sería: |AB| = [(x 2 – x 1 ) 2 + (y 2 – y 1 ) 2 ], como se vió en cursos pasados. Donde A(x 1 – y 1 ) y B(x 2 – y 2 ) Se fundamentaba en que la medida del segmento AB era hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos eran los incrementos de las variables: |AB| = [ (Δx) 2 + (Δy) 2 ] Pues bien, en el caso de curvas en el plano, la longitud del arco se halla de forma muy similar. En lugar de los incrementos utilizamos las diferenciales, dx y dy: b b dy Longitud AB = L = [(dx) 2 + (dy) 2 ] = [ 1 + (------) 2 ]. dx a a dx Siendo a= x a y b=x b ; y sabiendo que f (x) = dy / dx.

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.T.8 EJEMPLO_1 Hallar la longitud de la curva: y= x Entre los puntos A(1,1) y B(4,2) La longitud será: 4 dy L = [ 1 + (------) 2 ]. dx 1 dx Como dy / dx = y y = 1 / 2. x 4 L = [ 1 + (1 / 2. x) 2 ]. dx = = [ / 4x ]. dx = [ x + ¼ lnx] = 1 1 = (4 + 0,25.ln4)–(1+0,25.ln1)= 3+0,25.1,3862 = 3,3466 y= x X 2 1

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.T.9 EJEMPLO_2 Hallar la longitud de la curva: y= x 2 Entre los puntos A(-1,1) y B(2,4) La longitud será: 2 dy L = [ 1 + (------) 2 ]. dx -1 dx Como dy / dx = y y = 2x 2 L = [ 1 + (2x) 2 ]. dx = = [ 1 + 4x 2 ]. dx = [ x + 4. x 3 / 3 ] = = ( /3)–(-1-4.1/3)= 38/3 + 7/3 = 45/3 = 15 Mal ????? X 4 1 y= x 2

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.T.10 EJEMPLO_2 Hallar la longitud de la curva: x 2 y = 1, para valores de y positivos, entre los puntos x= -2 y x= Operando: 16.x y 2 = 400 y = (400 – 16.x 2 ) / 5 = (4/5). (25 – x 2 ) y = dy / dx = - 4.x / 5. (25 – x 2 ) La longitud será: 4 dy L = [ 1 + (------) 2 ]. dx -2 dx 4 L = [ 1 + [- 4.x / 5. (25 – x 2 )] 2 ]. dx = -2 4 = [ x 2 / (625 – 25.x 2 ) = -2 4 = [ (625 – 9.x 2 ) / (625 – 25.x 2 ) = X


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