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@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 CÓNICAS TEMA 6.

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Presentación del tema: "@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 CÓNICAS TEMA 6."— Transcripción de la presentación:

1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 CÓNICAS TEMA 6

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 HIPÉRBOLA TEMA 6.8 * 1º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS es una constante. PF – PF = 2a Elementos Semieje real: a Semieje imaginario: b Semidistancia focal: c Focos: F(0, c), F(0, -c) Vértices: A(a, 0), A(-a, 0), B(0, b), B(0, -b) X Y 2a 2c F A P(x, y) A F B

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT4 a c b RELACIÓN FUNDAMENTAL RELACIÓN FUNDAMENTAL Por definición, la diferencia de distancias de cualquier punto a los focos F y F es 2a. PF – PF = 2.a Tomamos el vértice derecho A(a, 0) y vemos que se nos forma un triángulo rectángulo. Por Pitágoras: Excentricidad Se define como la relación: e = c / a Como siempre c > a e > 1 en una hipérbola X Y F A P(x, y) A F Asíntotas: y = (b/a).x e y = -(b/a).x

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 ECUACIÓN REDUCIDA X Y x c F A P(x, y) A F b a c ECUACIÓN REDUCIDA Se considera el origen O(0, 0) el centro geométrico de la hipérbola. Se aplica la definición, dándose cuenta de que cada distancia del punto P(x,y) a los focos es una hipotenusa de triángulos rectángulos: PF – PF = 2.a ((x+c) 2 + y 2 )) – ((x – c) 2 + y 2 ))=2.a ((x+c) 2 + y 2 )) = 2.a + ((x – c) 2 + y 2 )) Elevando todo al cuadrado: x 2 + 2xc+c 2 + y 2 = 4a 2 + x 2 – 2xc+c 2 + y a (c 2 – 2xc + x 2 + y 2 ) xc – a 2 = a (c 2 – 2xc + x 2 + y 2 ) x 2 c 2 – 2xca 2 + a 4 = a 2 c 2 – 2xca 2 + x 2 a 2 + y 2 a 2 Como c 2 = a 2 + b 2 x 2 a 2 + x 2 b 2 + a 4 = a 4 + a 2 b 2 + x 2 a 2 – y 2 a 2 Quedando: x 2 b 2 – y 2 a 2 = a 2 b 2

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 Ejercicios Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos datos conocidos son: 1º.-Vértices: A(3,0), A(-3,0), B(0, 4) y B(0, - 4) El centro de la elipse es C((3+(-3))/2, (4+(-4))/2),, C(0,0) Eje real: 2.a = 6,, a =3,, Eje imaginario: 2b = 8,, b = 4 Ecuación: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 16x 2 – 9y 2 = 144 2º.-Vértices: A(5,0), A (-5,0),, Excentricidad: e = 1,2 El centro de la elipse es C((5+(-5))/2, 0),, C(0,0) Semieje mayor: a = 5,, e = c / a c =e.a = 1,2.5 = 6 Semieje imaginario: b = (c 2 – a 2 ) = (6 2 – 5 2 ) = 11 Ecuación: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 11x 2 – 25y 2 = 275 3º.-Centro: C(0,0),, Focos: F(10, 0), F (-10, 0) y P(- 6, 0) Ecuación: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 36.b 2 – 0.a 2 = a 2.b 2 Relación: c 2 = a 2 + b = a 2 + b 2 Resolviendo el sistema: a 2 = 36,, a = 6 y b 2 = 64,, b = 8

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT7 ECUACIÓN GENERAL ECUACIÓN REDUCIDA Teníamos: x 2 b 2 – y 2 a 2 = a 2 b 2 Dividiendo todo entre a 2 b 2 Queda: x 2 y – --- = 1 a 2 b 2 ECUACIÓN GENERAL Lo normal es que el centro de la hipérbola no sea el origen de coordenadas: Resultando: (x – k) 2 (y – h) – = 1 a 2 b 2 ECUACIÓN DESARROLLADA Operando en la ecuación general: x 2 b 2 – y 2 a 2 – 2kb 2 x + 2ha 2 y + (b 2 k 2 – a 2 h 2 – a 2 b 2 ) = 0 Que es la ecuación general desarrollada. X Y F A P(x, y) A F O

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 Ejercicios Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos datos conocidos son: 4º.-Vértices: A(5,3), A(-7,3), e = 1,5 El centro de la hipérbola es C((5+(-7))/2, 3),, C(-1,3) Eje real: 2.a = 12,, a =6,, e = c/a c = e.a = 1,5.6 = 9 Eje imaginario: b = (c 2 – a 2 ) = (9 2 – 6 2 ) = 45 = 3 5 Ecuación: b 2 (x + 1) 2 – a 2 (y – 3) 2 = a 2 b 2 45x 2 – 36y x + 216y – 1899 = 0 5º.-Vértices: B(2, -2), B (2, - 6),, Distancia focal: 2c=10 El centro de la hipérbola es C(2, (-6 – (-2))/2),, C(2, – 4) Semieje imaginario: b = (-2 – (– 6))/2 = 4/2 = 2 Semieje real: a = (c 2 – b 2 ) = (5 2 – 2 2 ) = 21 Ecuación: b 2 (x – k) 2 – a 2 (y – h) 2 = a 2 b 2 4 (x – 2) 2 – 21 (y + 4) 2 = x 2 – 21y 2 – 16x – 168y – 404 = 0

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT9 Ejercicios Hallar el centro, focos y semiejes de las hipérbolas siguientes: Ecuación general: b 2 x 2 – a 2 y 2 – 2b 2 kx + 2a 2 hy + b 2 k 2 – a 2 h 2 – a 2 b 2 = 0 6º.- P: 9x 2 – y 2 – 6x + 4y – 12 = 0 Identificando términos, tenemos: b 2 = 9 b=3,, a 2 = 1 a= 1 2b 2 k = 6 18k = 6 k = 1/3,, 2a 2 h = 4 2h = 4 h = 2 C(1/3, 2),, c = (a 2 + b 2 ) = 1+9 = 10,, F(1/3+ 10, 2) y F (1/3 - 10, 2) Comprobando: b 2 k 2 – a 2 h 2 – a 2 b 2 = – /9 – 1.4 – 9.1 = – 12 7º.- P: 4x 2 – 4y 2 – 8x – 20 = 0 Identificando términos, tenemos: b 2 = 4 b= 2,, a 2 = 4 a= 2 2b 2 k = 0 8k = 0 k = 0,, 2a 2 h = – 8 8h =– 8 h = – 1 C(0, – 1),, c = (a 2 + b 2 ) = 8 = 2 2,, F(2 2, –1) y F (- 2 2, –1) Comprobando: b 2 k 2 – a 2 h 2 – a 2 b 2 = – – 4.1 – 4.4 = – 20


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