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@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 CÓNICAS TEMA 6.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 CÓNICAS TEMA 6

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 ELIPSE TEMA 6.7 * 1º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 LA ELIPSE LA ELIPSE La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS es una constante. PF+PF = 2a Elementos Semieje mayor: a Semieje menor: b Semidistancia focal: c Focos: F(0, c), F(0, -c) Vértices: A(a, 0), A(-a, 0), B(0, b), B(0, -b) X Y 2a 2c F A P(x, y) A F B B 2b

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT4 RELACIÓN FUNDAMENTAL RELACIÓN FUNDAMENTAL Por definición, la suma de distancias de cualquier punto a los focos F y F es 2a. PF+PF = 2.a Tomamos el vértice superior B(0, b) y tenemos que se nos forma un triángulo rectángulo. Por Pitágoras: Excentricidad Se define como la relación: e = c / a Como siempre c < a 0 < e < 1 en una elipse X Y 2a 2c F A A F B(0, b) B aa b c

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 ECUACIÓN REDUCIDA X Y F A F P(x, y) B b x y Elevando todo al cuadrado: x 2 + 2xc+c 2 + y 2 = 4a 2 + x 2 – 2xc+c 2 + y 2 – 4.a(c 2 – 2xc + x 2 + y 2 ) xc – a 2 = – a(c 2 – 2xc + x 2 + y 2 ) x 2 c 2 – 2xca 2 + a 4 = a 2 c 2 – 2xca 2 + x 2 a 2 + y 2 a 2 Como c 2 = a 2 – b 2 x 2 a 2 – x 2 b 2 + a 4 = a 4 – a 2 b 2 + x 2 a 2 + y 2 a 2 Quedando: x 2 b 2 + y 2 a 2 = a 2 b 2 ECUACIÓN REDUCIDA Se considera el origen de coordenadas O(0, 0) el centro geométrico de la elipse. Se aplica la definición, dándose cuenta de que cada distancia del punto P(x,y) a los focos es una hipotenusa de triángulos rectángulos: PF+PF = 2.a ((x+c) 2 + y 2 )) + ((c – x) 2 + y 2 ))=2.a ((x+c) 2 + y 2 )) = 2.a – ((c – x) 2 + y 2 ))

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 Ejercicios Hallar la ecuación de la elipse cuyos datos conocidos son: 1º.-Vértices: A(5,0), A(-5,0), B(0, 3) y B(0, -3) El centro de la elipse es C((5+(-5))/2, (3+(-3))/2),, C(0,0) Eje mayor: 2.a = 10,, a =5,, Eje menor: 2b = 6,, b = 3 Ecuación: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 9x y 2 = 225 2º.-Vértices: A(5,0), A (-5,0),, Focos: F(3, 0) y F (-3, 0) El centro de la elipse es C((5+(-5))/2, 0),, C(0,0) Semieje mayor: a = 5,, Distancia focal: 2c = 6 c =3 Semieje menor: b = (5 2 – 3 2 ) = 4 Ecuación: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 16x y 2 = 400 3º.-Centro: C(0,0),, Focos: F(3, 0), F (-3, 0) y P(4, 2 4) Ecuación: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 16.b a 2 = a 2.b 2 Relación: a 2 = b 2 + c 2 a 2 = b Resolviendo el sistema: b 2 = 16,, b = 4 y a 2 = 25,, a = 5

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT7 ECUACIÓN GENERAL X Y F F P(x, y) ECUACIÓN REDUCIDA Teníamos: x 2 b 2 + y 2 a 2 = a 2 b 2 Dividiendo todo entre a 2 b 2 Queda: x 2 y = 1 a 2 b 2 ECUACIÓN GENERAL Lo normal es que el centro de la elipse no sea el origen de coordenadas: Resultando:(x – k) 2 (y – h) = 1 a 2 b 2 ECUACIÓN DESARROLLADA Operando en la ecuación general: x 2 b 2 + y 2 a 2 – 2kb 2 x – 2ha 2 y + (b 2 k 2 + a 2 h 2 – a 2 b 2 ) = 0 Que es la ecuación general desarrollada. O

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 Ejercicios Hallar la ecuación de la elipse cuyos datos conocidos son: 4º.-Vértices: A(8,3), A(-8,3), B(0, 7) y B(0, -1) El centro de la elipse es C((8+(-8))/2, (7+(-1))/2),, C(0,3) Eje mayor: 2.a = 16,, a =8,, Eje menor: 2b = 8,, b = 4 Ecuación: b 2 x 2 + a 2 (y – 3) 2 = a 2 b 2 16x y 2 – 384y – 1024 = 0 Simplificando entre 16 queda: x 2 + 4y 2 – 14y – 28 = 0 5º.-Vértices: A(17,2), A(-9,2),, Distancia focal: 2c=10 El centro de la elipse es C((17+(-9))/2, 2),, C(13,2) Semieje mayor: a = (17 – (– 9))/2 = 26/2 = 13 Semieje menor: b = (a 2 – c 2 ) = (13 2 – 5 2 ) = 12 Ecuación: b 2 (x – k) 2 + a 2 (y – h) 2 = a 2 b (x – 13) (y – 2) 2 = x y 2 – 3744x – 676y = 0

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT9 Ejercicios Hallar el centro, focos y semiejes de las elipses siguientes: Ecuación general: b 2 x 2 + a 2 y 2 – 2b 2 kx – 2a 2 hy + b 2 k 2 + a 2 h 2 – a 2 b 2 = 0 6º.- P: x 2 + 9y 2 – 8x – 36y + 28 = 0 Identificando términos, tenemos: b 2 = 1 b=1,, a 2 = 9 a= 3 2b 2 k = 8 8k = 8 k = 1,, 2a 2 h = 36 18h = 36 h = 2 C(1, 2),, c = (a 2 – b 2 ) = 8 = 2 2,, F(1+ 2 2, 2) y F ( , 2) Comprobando: b 2 k 2 + a 2 h 2 – a 2 b 2 = – 9.1 = 28 7º.- P: 3x 2 + 5y 2 – y – = 0 Identificando términos, tenemos: b 2 = 3 b= 3,, a 2 = 5 a= 5 2b 2 k = 0 6k = 0 k = 0,, 2a 2 h = 1 10h = 1 h = 0,1 C(0, 0 1),, c = (a 2 – b 2 ) = 2,, F( 2, 0 1) y F (- 2, 0 1) Comprobando: b 2 k 2 + a 2 h 2 – a 2 b 2 = m – 5.3 = – 14 95

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT10 Ejercicios Hallar el centro, focos y semiejes de las elipses siguientes: Ecuación general: b 2 x 2 + a 2 y 2 – 2b 2 kx – 2a 2 hy + b 2 k 2 + a 2 h 2 – a 2 b 2 = 0 8º.- P: 4x 2 + 9y 2 – 8x + 36y + m = 0 Identificando términos, tenemos: b 2 = 4 b=2,, a 2 = 9 a= 3 2b 2 k = 8 8k = 8 k = 1,, 2a 2 h = h = - 36 h = – 2 C(1, - 2),, c = (a 2 – b 2 ) = 5,, F(1+ 5, -2) y F (1 - 5, - 2) b 2 k 2 + a 2 h 2 – a 2 b 2 = m – 9.4 = 4 9º.- P: 16x 2 + 9y 2 – 8x + m = 0 b > a Girada 90º Identificando términos, tenemos: b 2 = 16 b=4,, a 2 = 9 a= 3 2b 2 k = 8 32k = 8 k = 0,25,, 2a 2 h = 0 18h = 0 h = 0 C(0,25, 0),, c = (b 2 – a 2 ) = 7,, F(0,25, 7) y F (0,25, - 5) b 2 k 2 + a 2 h 2 – a 2 b 2 = m 16.0, – 9.16 = – 143


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