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@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT1 Tema 4 GEOMETRÍA ANALÍTICA.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT1 Tema 4 GEOMETRÍA ANALÍTICA

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT2 Tema 4.7 * 1º BCT PRODUCTO ESCALAR

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT3 PRODUCTO ESCALAR PRODUCTO ESCALAR El producto escalar de dos vectores libres, u y v, es un escalar ( un número) y se define así: u.v = |u|.|v|. cos[u,v], si u y v no son nulos. El producto escalar será 0 si u o v son el vector nulo o si son perpendiculares EJEMPLO Hallar el producto escalar: u=(3,4) |v|=3 [u,v]=60º |u|=(9+16)=5 u.v = 5.3.cos 60º u.v = = 75 u v [u,v]

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT4 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Si proyectamos el vector v sobre el vector u se nos forma un triángulo rectángulo. Por trigonometría: |v|=|v|.cos [u,v] Podemos decir que: El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre el primero. u.v = |u|.|v| De igual manera: u.v = |v|.|u| u v [u,v] vu v u

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT5 Ejemplo Dos vectores u y v son tales que: |u|=4, |v|=6, [u.v]=45º Hallar el producto escalar. Proyectamos el vector v sobre el vector u: |v|=|v|.cos 45 = 6.2/2 = 32 Producto escalar: u.v = |u|.|v|=4. 32 = 122 Proyectamos el vector u sobre el vector v: |u|=|u|.cos 45 = 4.2/2 = 22 Producto escalar: u.v = |u|.|v|=22.6 = 122 u v [u,v] vu v u

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT6 EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR Sean los vectores libres, u y v, y sea B=(i,j) la base canónica del espacio V 2 : u = xi + yj v = xi + yj u.v = (xi + yj).(xi + yj) u.v = xi.xi + xi. yj + yj.xi + yj.yj u.v = x.x.(i.i) + x.y.(i.j) + y.x.(j.i) + y.y.(j.j) Como: i.i=|i|.|i|.cos 0º = = 1 i.j =|i|.|j|. cos 90º = =0 j.i =|i|.|j|. cos 90º = =0 j.j=|j|.|j|.cos 0º = = 1 Queda: u.v = x.x + y.y EXPRESIÓN ANALÍTICA u v [u,v] i x x yyjyyj

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT7 EJEMPLO_1 Sea el vector v= (6, 8) y u=(2, 3). Hallar el producto escalar. u.v = (2, 3).(6, 8) = = = 36 EJEMPLO_2 Sea el vector v= (3, 11) y u=(1, 3). Hallar el producto escalar. u.v = (1, 3).(3, 11) = = = 36 EJEMPLO_3 Sea el vector v= (-2, 5) y u=(5, 2). Hallar el producto escalar. u.v = (5, 2).(-2,5) = 5.(-2) = = 0 EJEMPLO_4 Sea el vector v= (-3, 2) y u=(5, -3). Hallar el producto escalar. u.v = (5, -3).(-3, 2) = 5.(-3) + 2.(-3) = – 15 – 6 = – 21

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT8 EJEMPLO_5 Sean los vectores |v|= 6 y |u|= 3. Hallar el producto escalar si el ángulo que forman es de 45º. u.v = |u|.|v|. cos 45 = 6.3.0,707 = 18.0,707 = 15,756 EJEMPLO_6 Sean los vectores |v|= 5 y |u|= 7. Hallar el producto escalar si el ángulo que forman es de 60º. u.v = |u|.|v|. cos 60 = 5.7.0,5 = 35.0,5 = 17,5 EJEMPLO_7 Sean los vectores v=(6, -3), u = (-3,7) y |w| = 5. Hallar el producto escalar (u+v).w, si el ángulo que forma el vector w con la suma u+v es de 30º. (u+v).w = |u+v|.|w|. cos 30º = |(6-3, -3+7)|.5.0,866 = = |(3, 4)|.5.0,866 = (9+16).5.0,866= ,866 = 25.0,866= 21,65

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT9 1.-El producto escalar de un vector por si mismo es un número positivo o nulo. u.u = |u|.|u|. cos 0º = |u| 2.1 = u| El producto escalar es commutativo u.v = v.u = |u|.|v|. cos [u,v] 3.-El producto escalar es homogéneo k.(u.v) = (k.u).v = u.(k.v) 4.-Distributiva respecto a la suma w.(u+v) = w.u + w.v PROPIEDADES DEL PRODUCTO

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT10 ÁNGULO QUE FORMAN El producto escalar de dos vectores libres, u y v, es un escalar ( un número) y se define así: u.v = |u|.|v|. cos[u,v] Si u=(x, y) y v=(x, y) También: u.v = x.x + y.y Luego tenemos la igualdad: |u|.|v|. cos[u,v] = x.x + y.y De donde despejamos el ángulo que forman: x.x + y.y cos[u,v] = |u|.|v| u v [u,v]

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT11 Ejemplos de cálculo de ángulo entre vectores EJEMPLO_1 Sea el vector v= (3, 4) y u=(6,8). Hallar el ángulo que forman. |v| = [ ] = 25 = 5 |u| = [ ] = 100 = 10 u.v = (6, 8).(3, 4) = = 50 cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = 50 / 5.10 = 50 / 50 = 1 [u,v] = 0º EJEMPLO_2 Sea el vector v= (-4, 3) y u=(6,-8). Hallar el ángulo que forman. |v| = [ (- 4) ] = 25 = 5 |u| = [ (- 8) 2 ] = 100 = 10 u.v = (6, - 8).(- 4, 3) = = - 48 cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = - 48 / 5.10 = - 48 / 50 = - 0,96 [u,v] = 164º [u,v] = 196º

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT12 Ejemplos de cálculo de ángulo entre vectores EJEMPLO_3 Sea el vector v= (2, 5) y u=(5, -2). Hallar el ángulo que forman. |v| = [ ] = 29 = 5,3851 |u| = [ (-2) 2 ] = 29 = 5,3851 u.v = (5, -2).(2, 5) = 10 – 10 = 0 cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = 0 / 29 = 0 [u,v] = 90º y 270º EJEMPLO_4 Sea el vector v= (0, -5) y u=(3,-3). Hallar el ángulo que forman. |v| = [ (- 5) 2 ] = 25 = 5 |u| = [ (- 3) 2 ] = 18 = 4,2426 u.v = (3, - 3).(0, - 5) = = 15 cos [u,v] = u.v /|u|.|v| = 15 / 5.4,2426 = 15 / 21,213 = 0,707 [u,v] = 45º y 315º

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT13 Ejemplos de cálculo de ángulo entre vectores EJEMPLO_5 Sea el vector v= (2, 5) y u=(5, p). Hallar el valor de p para que formen un ángulo de 45º. |v| = [ ] = 29 = 5,3851 |u| = [ p 2 ] = (25+ p 2 ) u.v = (2, 5).(5, p) = p cos [u,v] = u.v /|u|.|v| Cos 45º = 10+5p / 29. (25+ p 2 ) (2/2).29.(25+ p 2 ) = (10+5p) Elevando todo al cuadrado: (25+p 2 ) = p p 2 14,5. p ,5 = p p 2 0 = 105.p p – = 105.p p – = 21.p p – 525 p = (-200±( ))/42 = (-200±4816)/42 = y – 11943


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