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@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 CÓNICAS TEMA 6.

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Presentación del tema: "@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 CÓNICAS TEMA 6."— Transcripción de la presentación:

1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 CÓNICAS TEMA 6

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 POTENCIA DE UN PUNTO TEMA 6.4 * 1º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 POTENCIA DE UN PUNTO POTENCIA DE UN PUNTO Por un punto P(a, b) trazamos dos o más rectas que corten a una circunferencia de centro C(k, h) y radio r. Los puntos de corte serán A y B, A y B, etc. Los triángulos PBA y PAB son semejantes ya que poseen dos ángulos iguales. Podemos poner: PA PA = ---- PA. PB = PA. PB PB PB Este producto es constante para cualquier recta que pase por el punto P(a,b). Esa constante se denomina potencia de P respecto a la circunferencia C, y se escribe Pot C (P) P(a, b) A B A B

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT4 Cálculo de la potencia CALCULO DE LA POTENCIA DE UN PUNTO Como hemos dicho que es indiferente la recta secante trazada por P, tomamos aquella que coincide con el diámetro de la circunferencia. Distancia del punto al centro de la circunferencia: d(P, C) = [ (a k) 2 + (b h) 2 ] = d Pot C (P) = (d + r).(d – r) = d 2 – r 2 Pot C (P) = (a k) 2 + (b h) 2 – r 2 Vemos pues que la potencia de un punto respecto a una circunferencia se calcula tomando la ecuación de la circunferencia igualada a cero y sustituyendo la x y la y por las coordenadas del punto P. P(a, b) A B C d=d(P, C) r r

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 Consecuencias Consecuencias: Si la potencia es positiva, el punto es exterior a la circunferencia. Pot C (P) > 0 P(a, b) es exterior a C Ejemplo: Sea P(5,2) y C: x 2 + y 2 – 25 = 0 Pot C (P) = – 25 = 4 > 0 Si la potencia es 0, el punto pertenece a la circunferencia. Pot C (P) = 0 P(a, b) pertenece a C Ejemplo: Sea P(- 6,8) y C: x 2 + y 2 – 100 = 0 Pot C (P) = – 100 = 0 Si la potencia es negativa, el punto es interior a la circunferencia. Pot C (P) < 0 P(a, b) es interior a C Ejemplo: Sea P(0, -2) y C: x 2 + y 2 – 16 = 0 Pot C (P) = – 16 = – 12 < 0

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 Ejercicios Ejemplo 1 Sea P(0,2) y C: x 2 + y 2 – 2x + 5 = 0 Pot C (P) = – = 9 > 0 El punto es exterior a la circunferencia Ejemplo 2 Sea P(1, -1) y C: x 2 + y 2 – 2x + 3y – 5 = 0 Pot C (P) = – 2 – 3 – 5 = – 8 < 0 El punto es interior a la circunferencia Ejemplo 3 Sea P(a, 0) y C: x 2 + y 2 – a 2 = 0 Pot C (P) = a 2 – a 2 = 0 = 0 El punto pertenece a la circunferencia, sea cual sea el valor de a. Ejemplo 4 Sea P(a, a) y C: x 2 + y 2 – 50 = 0 Pot C (P) = a 2 + a 2 – 50 = 2. a 2 – 50 = 2.(a 2 – 25) El punto es exterior a la circunferencia cuando …. El punto pertenece a la circunferencia si … El punto es interior a la circunferencia cuando ….

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT7 EJE Y CENTRO RADICAL TEMA 6.5 * 1º BCT

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 EJE RADICAL EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de ambas. Sean las circunferencias: C 1 : x 2 + y 2 + D 1.x + E 1.y + F 1 = 0 C 2 : x 2 + y 2 + D 2.x + E 2.y + F 2 = 0 Sea el punto P(x,y), general. Al ser iguales las potencias: x 2 + y 2 + D 1.x + E 1.y + F 1 = x 2 + y 2 + D 2.x + E 2.y + F 2 Simplificando: (D 1 – D 2 ).x + (E 1 – E 2 ).y + (F 1 – F 2 ) = 0 que es la ecuación de una recta. El eje radical es siempre perpendicular a la línea que une los centros.

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT9 EJE RADICAL

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT10 Ejercicios 1.-Hallar el eje radical de C1: x 2 + y 2 – 9 = 0 y C2: (x – 3) 2 + (y – 4) 2 – 25 = 0 x 2 + y 2 – 9 = x 2 – 6x y 2 – 7y + 16 – 25 6x – 9 – 9 + 7y – = 0 6x + 7y – 9 = Hallar el eje radical de C1: (x – 1) 2 + y 2 – 1 = 0y C2: (x – 1) 2 + (y – 4) 2 – 25 = 0 x 2 – 2x y 2 – 1 = x 2 – 2x y 2 – 8y + 16 – 25 – 2x + 1 – 1 + 2x – 1 + 8y – = 0 8y + 8 = 0,, y = Hallar el eje radical de C1: x 2 + y 2 – 1 = 0 y C2: (x – 5) 2 + (y – 5) 2 – 100 = 0 x 2 + y 2 – 1 = x 2 – 10x y 2 – 10y + 25 – x + 10y – 1 – 25 – = 0 10x + 10y + 49 = 0,, y = – x – 4,9

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT11 CENTRO RADICAL CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS Se llama centro radical de tres circunferencias a un punto tal que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias. Se obtiene como intersección de los ejes radicales. La intersección de los tres ejes radicales que se obtienen tomando las circunferencias de dos en dos es un punto único. Sean los ejes: (D 1 – D 2 ).x + (E 1 – E 2 ).y + (F 1 – F 2 ) = 0 (D 3 – D 2 ).x + (E 3 – E 2 ).y + (F 3 – F 2 ) = 0 (D 3 – D 1 ).x + (E 3 – E 1 ).y + (F 3 – F 1 ) = 0 Que tomados dos cualesquiera y resolviendo el sistema obtenemos las coordenadas del centro radical.

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT12 CENTRO RADICAL Centro radical correcto: Es único Centro radical incorrecto

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT13 Ejercicios 1.-Hallar el centro radical de C1: x 2 + y 2 – 9 = 0 C2: (x – 3) 2 + (y – 4) 2 – 25 = 0 y C3: (x – 5) 2 + (y – 5) 2 – 100 = 0 Tomadas dos a dos los ejes radicales son: 6x + 8y – 9 = 0(1) y = – 2x – 25(2) y = – x – 4,1(3) Tomamos los ejes (2) y (3); y resolviendo por igualación: 2x + 25 = x + 4,1 x = 4,1 – 25 = x x = – 20,9 y = – x – 4,1 = 20,9 – 4,1 = 16,8 Comprobamos que el punto pertenece al eje (1): 6x + 8y – 9 = 0 6.(– 20,9 ) + 8.(16,8) – 9 = 0 – 125, ,4 – 9 = 0,, 9 – 9 = 0 El centro radical es el punto P(– 209, 168)


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