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--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 1 CÁLCULO I Arturo Hidalgo, Manuel Hervás, Ramón Rodríguez, Félix Míguez Dpto.

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1 --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 1 CÁLCULO I Arturo Hidalgo, Manuel Hervás, Ramón Rodríguez, Félix Míguez Dpto. Matemática Aplicada y Métodos Informáticos E.T.S.I. Minas. Universidad Politécnica de Madrid BLOQUE 2º: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL Cálculo de áreas de revolución

2 --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 2 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Forma explícita: y = f(x) a b y = f(x) Alrededor de OX:

3 --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 3 Curva: x = g(y) Alrededor de OY: entre y = c ; y = d y=c y=d

4 --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 4 JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (1) : Giro alrededor del eje OX Se considera el tronco de cono de revolución ABCD (Área lateral) tr.cono = 2.(radio medio). (longitud generatriz) Integrando en [a,b]: y = f(x) ds y1y1 y2y2 A B C D dx ab y ds

5 --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 5 JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (2) : Giro alrededor del eje OY Se considera el tronco de cono de revolución ABCD (Área lateral) tr.cono = 2.(radio medio). (longitud generatriz) Integrando en [a,b]: x ds y=c y=d x dy ds C D AB

6 --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 6 x y s P Q (Cuerda PQ) 2 = x 2 + y 2 (Cuerda PQ/ s) 2.( s/ x) 2 = + y 2 / x 2 Hacemos Q P, es decir, x 0: JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (3) : Cálculo del diferencial de arco ds

7 --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 7 x y s P Q (Cuerda PQ) 2 = x 2 + y 2 (Cuerda PQ/ s) 2.( s/ y) 2 = + x 2 / y 2 Hacemos Q P, es decir, y 0: JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (4) : Cálculo del diferencial de arco ds

8 --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 8 EJEMPLO: Calcular el área de la superficie engendrada por la revolución, alrededor de OX, de la parábola: y 2 =4x entre x = 0, x=2 Solución: Por simetría respecto OX, consideramos la rama positiva:

9 --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 9 EJEMPLO: Calcular el área de la superficie engendrada por la revolución, alrededor de OY, del arco de curva: x=y 3 entre y = 0, y=1 Solución:

10 --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 10 Área de una superficie de revolución en PARAMÉTRICAS: Alrededor del eje OX: Alrededor del eje OY:

11 --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 11 Ejemplo Calcular el área engendrada por la revolución alrededor del eje OX de la astroide: Solución: Pasamos a paramétricas: Nuevos límites de integración: a -a a

12 --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 12

13 --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 13 2.p-1=4 p = 5/2 2.q-1=1 q = 1

14 --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 14 EJEMPLO: A)Hallar la superficie de revolución, al girar alrededor de OX, del arco de curva y = a.Ch(x/a) entre x=0, x=2a siendo a>0 B)Hallar la superficie de revolución al girar el mismo arco alrededor de OY Solución: A) Si y = a.Ch(x/a) y = Sh(x/a)

15 --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 15 Como Ch 2 (x) - Sh 2 (x) = 1 1+Sh 2 (x) = Ch 2 (x) : de donde se obtiene: Operando: Pues:

16 --Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez 16 B) u=x du = dx Ch(x/a)dx=dv v = a.Sh(x/a)


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