@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 FUNCIONES Tema 6

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 OPERACIONES CON FUNCIONES Tema 6.2 * 1º BCS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 OPERACIONES CON FUNCIONES FUNCIÓN SUMA (DIFERENCIA) Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real. Llamamos función SUMA (DIFERENCIA) y la denotamos así: (f±g)(x) = f(x) ± g(x) Para Vxє[Dom f(x) ΛDom g(x)] FUNCIÓN PRODUCTO Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real. Llamamos función PRODUCTO y la denotamos así: (f.g)(x) = f(x). g(x) Para Vx є [Dom f(x) ΛDom g(x)] FUNCIÓN DIVISIÓN Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real. Llamamos función DIVISIÓN y la denotamos así: (f/g)(x) = f(x) / g(x) Para Vx є [Dom f(x) ^Dom g(x)], con g(x)<>0 FUNCIÓN RECÍPROCA Sea f(x) una función real de variable real tal que f(x) <>0. Llamamos función RECÍPROCA y la denotamos así: (1/f)(x) = 1 / f(x)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 EJEMPLO_1 DE FUNCIÓN SUMA Sea f(x) = x+1 y g(x) = 1 / ( x – 1). Dom f(x) = R, pues para cualquier x є R existe una imagen o valor de f(x) Dom g(x) = R – {1}, pues cuando x=1  f(1) = 1/0 = ∞, que no existe. Sea (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x / ( x – 1) = (x 2 – 1 +1) /(x-1) = x 2 / (x-1) Como se ve Dom (f+g)(x) = R – {1}, intersección de los dominios. La función suma es posible efectuarla en todo R excepto en x=1 EJEMPLO_2 DE FUNCIÓN SUMA Sea f(x) = √x y g(x) = √-x Dom f(x) = R+, pues x debe ser positivo para que exista una imagen o valor de f(x) Dom g(x) = R-, pues x debe ser negativo para que exista una imagen o valor de f(x) Sea (f + g)(x) = f(x) + g(x) = √x +√-x Como se ve Dom (f+g)(x) = 0, intersección de los dominios. La función suma sólo existe cuando x=0

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 EJEMPLO_1 DE FUNCIÓN PRODUCTO Sea f(x) = x -1 y g(x) = 1 / ( x – 1). Dom f(x) = R, pues para cualquier x є R existe una imagen o valor de f(x) Dom g(x) = R – {1}, pues cuando x=1  f(1) = 1/0 = ∞, que no existe. Sea (f. g)(x) = f(x). g(x) = ( x – 1). 1 / ( x – 1) = (x – 1) / (x - 1) = 1 A pesar de que el resultado, (f.g)(x) = 1) es una constante, independiente de x, el Dom (f.g)(x) = R – {1}, intersección de los dominios. EJEMPLO_2 DE FUNCIÓN PRODUCTO Sea f(x) = √x - 1 y g(x) = √ 2 - x Dom f(x) = V x є [1, +∞) Dom g(x) = V x є (-∞, 2] Sea (f.g)(x) = f(x). g(x) = √x-1.√2-x = √ - x 2 + 3x - 2 Como se ve Dom (f+g)(x) = [1, 2], intersección de los dominios.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 EJEMPLO 1 DE FUNCIÓN RECÍPROCA Sea f(x) = x, tal que f(x) <>0. (1/f)(x) = 1 / f(x) = 1 / x, donde el Dom (1/f)(x) = R – {0} EJEMPLO 2 DE FUNCIÓN RECÍPROCA Sea f(x) = 1 / (x – 2), tal que f(x) <>0. (1/f)(x) = 1 / f(x) = x - 2, donde el Dom (1/f)(x) = R EJEMPLO 3 DE FUNCIÓN RECÍPROCA Sea f(x) = ( x – 1) / (x + 2), tal que f(x) <>0. (1/f)(x) = 1 / f(x) = (x + 2) / (x -1), donde el Dom (1/f)(x) = R – {1} pues en x=1  f(x) = 0

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I7 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Tema 6.3 * 1º BCS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I8 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real. Llamamos función COMPUESTA a alguna de las siguientes expresiones: (f o g)(x) = f [ g (x) ] (g o f)(x) = g [ f (x) ] Ejemplo_1 Sea f(x) = 1 / x,, g(x) = x (f o g)(x) = f [ g (x) ] = 1 / (x 2 – 1) (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (1 / x) 2 – 1 = (1 / x 2 ) – 1 = ( 1 - x 2 ) / x 2 Como se ve es muy diferente (f o g)(x) que (g o f)(x)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I9 Ejemplo_2 Sea f(x) = √ x,, g(x) = x 2 (f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ x 2 = x (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (√ x) 2 = x Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x) Ejemplo_3 Sea f(x) = sen x,, g(x) = x 2 – 1 (f o g)(x) = f [ g (x) ] = sen (x 2 – 1) (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (sen x) 2 – 1 Como se ve es muy diferente (f o g)(x) que (g o f)(x)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I10 Ejemplo_4 Sea f(x) = x 2 – 1 (f o f )(x) = f [ f (x) ] = (x 2 – 1) 2 – 1= = x 4 – 2.x – 1 = x 4 – 2.x 2 (f o f o f)(x) = f [ f (f(x)) ] = [(x 2 – 1) 2 – 1] 2 – 1 = = [(x 4 – 2.x 2 + 1) – 1] 2 – 1 = = (x 4 – 2.x 2 ) 2 – 1 = = x 8 – 4.x x 4 – 1 Ejemplo_5 Sea f(x) = x 2,, g(x) = x 3 (f o g )(x) = f [ g (x) ] = (x 3 ) 2 = x 6 (g o f )(x) = g [ f (x) ] = (x 2 ) 3 = x 6

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I11 Ejemplo_6 3 Sea f(x) = √ x,, g(x) = √ x (f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ (√ x 2 ) = √ x 2 = √ x 3 3 (g o f)(x) = g [ f (x) ] = √ (√ x) 2 = √ x Ejemplo_7 Sea f(x) = x – 1,, g(x) = x 2 – x,, h(x) = √x (f o g o h)(x) = f [ g (h(x)) ] = (√x) 2 – √x) – 1 = x – √x – 1 (g o f o h)(x) = g [ f (h(x)) ] = (√x – 1) 2 – (√x – 1) = x – 2√x + 1 – √x + 1) = = x – 3√x + 2 A veces entran en juego tres o más funciones para la composición de las mismas. Se han desarrollado solo dos de los muchos ejemplos posibles.