TEMA 2: FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Presentación del tema: "TEMA 2: FUNCIONES DE UNA VARIABLE"— Transcripción de la presentación:

1 TEMA 2: FUNCIONES DE UNA VARIABLE

2 Función.Definición Regla que relaciona los elementos de dos conjuntos.
A cada elemento del conjunto inicial le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto final

3 Ejercicio ¿ Cuál de estas dos expresiones es una función?

4 Dominio El subconjunto de números reales para los cuales existe la función Ejemplo

5 RECORRIDO El conjunto de números reales que toma una variable

6 Ejercicio Dominio y recorrido de la función:

7 Dominios y Recorridos de Funciones

8 Las Funciones polinómicas :
están definidas para todo número real El recorrido de las funciones potencia n-ésima será: El intervalo [0, ∞) si n es par. Todo R si n es impar.

9 Funciones racionales Su dominio es toda la recta real excepto las raíces de Q(x)

10 Funciones irracionales
Caso 1: n par Dom ( f ) = Caso 2: n impar Dom ( f )=

11 Funciones exponenciales
El dominio de la función exponencial es todo R y su recorrido es el intervalo (0, ∞) . Las funciones exponenciales son continuas en todo R. 􀁜

12 Funciones logarítmicas
El dominio de una función logaritmo es el conjunto de todos los números reales positivos y el recorrido el conjunto de todos los números reales. Las funciones logarítmicas son la función inversa de las exponenciales

13 Funciones a trozos f(x) = Calcula f (2) = Calcula f (4) =

14 Funciones trigonométricas seno
Función seno, . Características principales: y = sen (x) -Su dominio es R 􀁜. -Su recorrido es el intervalo [-1,1]

15 Función coseno Función coseno, . Características principales: y =cos (x) -Su dominio es R -Su recorrido es el intervalo [-1,1]

16 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Son los pares de elementos que se pueden representar gráficamente en un plano cartesiano. Para representar gráficamente una función : Damos valores Estudiamos el comportamiento de la función.

17 Ejercicio Aproximar a la gráfica de la función construyendo una tabla de valores ( dando valores)

18 Características de las gráficas de funciones
Función creciente y decreciente Función cóncava y convexa Función acotada

19 Funciones crecientes y decrecientes
Una función es creciente en un intervalo si para un par de números a y b del intervalo a<b →f(a) < f(b) Una función es decreciente en un intervalo si para un par de números a y b del intervalo a<b →f(a) > f(b)

20 Funciones convéxas y cóncavas
Diremos que una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva. Análogamente, diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.

21 Funciones acotadas Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k. El número k se llama cota superior Ejercicio: ¿ cuál es la cota superior de la siguiente función?

22 Funciones acotadas Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′. El número k′ se llama cota inferior. Ejercicio: ¿ cuál es la cota inferior de la siguiente función?

23 Ejercicio ¿ Está la función f(x) = sen x acotada? ¿ cota inferior?
¿ cota superior?

24 Tipos básicos de transformaciones en una función
Apuntes

25 Operaciones entre funciones
(f+g) (x) = f(x)+g(x) (f-g) (x)= f(x)-g(x) (f.g) (x)= f(x).g(x) (f/g)x= f(x)/g(x) producto por un escalar : (a f)(x)=a f(x)

26 Composición de funciones
Consiste en la aplicación reiterada de dos o mas funciones. Por ejemplo:Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]. Ejemplo: f (x) =2x y g(x) =3x+1 (g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

27 Propiedades Asociativa: f o (g o h) = (f o g) o h No es conmutativa.
f o g ≠ g o f

28 Ejercicios composición de funciones

29 Soluciones al primer ejercicio

30 Soluciones al segundo ejercicio

31 Soluciones al tercer ejercicio

32 Función inversa Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1 (b) = a. El dominio de f−1 es el recorrido de f. El recorrido de f−1 es el dominio de f. Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

33 Calculo de la función inversa
Se escribe la ecuación de la función con x e y. Se despeja la variable x en función de la variable y. Se intercambian las variables.

34 Ejercicio de función inversa