@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 DERIVADAS U.D. 10 * 1º BCS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I1 DERIVADAS U.D. 10 * 1º BCS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I2 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD U.D. 10.4 * 1º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I3 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD x=2 Sea la función: x, si x < 2 f(x) = - x + 4, si x ≥ 2 Veamos si es continua en x=2 1)f (2) = - 2 + 4 = 2 2)Lím f(x) = 2 x  2- Lím f(x) = - 2 + 4 = 2 x  2+ 3)f (2) = lím f(x)  2 = 2 x  2 La función es continua en x=2 La función es continua en x=2, pero.. ¿Tiene derivada en x=2, es derivable en x=2?. f(x)=x f(x)= -x + 4

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I4 Calculemos la derivada de la función en x=2 f (2 + h) - f(2) f ’ (x) = lím ------------------------- h  0 h A la izquierda del 2: 2 + h - 2 h f ’ (2-) = lím --------------- = ---- = 1 h  0 h h A la derecha del 2: - 2 - h + 4 + 2 – 4 - h f ’ (2+) = lím --------------------------- = ----- = - 1 h  0 h h Los límites NO coinciden  La función NO es derivable en x= 2, aunque hemos visto que es continua en x=2 Una función NO tiene derivada en los puntos angulosos. x=2 f(x)=x f(x)= -x + 4

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I5 x=1 OTRO EJEMPLO Sea la función: x 2, si x < 1 f(x) = 2x – 1, si x ≥ 1 Veamos si es continua en x=1 1)f (1) = 2.1 – 1 = 1 2)Lím f(x) = 1 2 = 1 x  1- Lím f(x) = 2.1 – 1 = 1 x  1+ Lím f(x) = 1 x  1 3)f (1) = lím f(x)  1 = 1 x  1 La función es continua en x=1 La función es continua en x=1, pero.. ¿Tiene derivada en x=1, es derivable en x=1?. f(x)=x 2 f(x)= 2.x – 1

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I6 Calculemos la derivada de la función en x=1 f (1 + h) - f(1) f ’ (1) = lím ------------------- h  0 h A la izquierda del 1: (1 + h) 2 - 1 2 1 + 2h + h 2 - 1 2h + h 2 f ’ (1-) = lím ------------------- = ---------------------- = ----------- = 2 + h = 2 h  0 h h h A la derecha del 1: 2(1 + h) – 1 – (2.1 – 1) 2h f ’ (1+) = lím ---------------------------------- = ----- = 2 h  0 h h Los límites coinciden  La función es derivable en x= 1. Una función NO tiene derivada en los puntos angulosos.