@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema VII Derivadas.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema VII Derivadas

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.2 REGLAS DE DERIVACIÓN Tema 7.4 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 DERIVADA DE LA SUMA Sea y = f(x)+g(x) Aplicando la definición de derivada: f(x +  x) + g(x +  x) ‑ f(x) ‑ g(x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ------------------------------ =  x  0  x f(x +  x) - f(x) g(x +  x) ‑ g(x) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ -------- + ------------------------ =  x  0  x  x f(x +  x) - f(x) g(x +  x) ‑ g(x) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ --- + lím ------------------------ =  x  0  x  x  0  x y’ = f ’(x) + g ‘(x)

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 DERIVADA DEL PRODUCTO Sea y = f(x). g(x) Aplicando la definición de derivada: f(x +  x). g(x +  x) ‑ f(x). g(x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ------------------------------ =  x  0  x Sumamos y restamos f(x).g(x+  x) al numerador, quedando: f(x +  x). g(x +  x) ‑ f(x). g(x) + f(x).g(x+  x) - f(x).g(x+  x) = lím ‑‑ ------ ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ -------------------------------------------------------------  x  0  x Sacando factor común : [f(x +  x) - f(x)]. g(x +  x) + [g(x +  x) - g(x)]. f(x ) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ---------------------------------------------------------------  x  0  x f(x +  x) - f(x) g(x +  x) - g(x) = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ---- g(x +  x) + lím ---------------------- f(x) =  x  0  x  x  0  x y ’ = f ‘(x). g(x) + f(x). g ’(x)

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5 DERIVADA DE LA INVERSA Sea y = k.f(x) Aplicando la definición de derivada: k. f(x +  x) - k.f(x) k. [f(x +  x) - f(x)] y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ---------- = lím ---------------------------- = k. f ‘(x)  x  0  x  x  0  x Sea y = 1 / f(x) Aplicando la definición de derivada: 1 / f(x +  x) - 1 / f(x) f(x) - f(x +  x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ -------------- = lím ---------------------------- =  x  0  x  x  0 f(x). f(x +  x).  x - [f(x +  x) - f(x)] 1 1 - f ‘(x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ -----. ------------------- = - f ‘(x). ---------- = -------  x  0  x f(x). f(x +  x) f(x).f(x) f 2 (x)

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6 DERIVADA DE LA DIVISIÓN Sea y = g(x) / f(x) Poniéndolo de la forma: y = g(x). 1 / f(x) y operando como producto de dos funciones: g ’(x) - f ‘(x) y ' = g ‘(x). 1 / f(x) + g(x).[ 1/f(x)]’ = --------- + g(x). -------- f(x) f 2 (x) y sacando mínimo común múltimo resulta: g ‘(x). f(x) - g(x). f ‘(x) y ‘ = ------------------------------------- f 2 (x)

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.7 OTRAS DERIVADAS MUY EMPLEADAS Sea y = √x Siempre se puede poner previamente como y = x 1/2 Pero conviene memorizar su derivada por la frecuencia con que aparece: y ’ = 1 / 2√x Sea y = 1 / x Siempre se puede poner previamente como y = x – 1 Pero conviene memorizar su derivada por la frecuencia con que aparece: y ’ = – 1/ x 2 Sea y = 1 / f (x) Sea cual sea el tipo de la función f(x) su derivada es: y ‘ = – f ‘(x) / f 2 (x) Por eso es importante memorizar su derivada, aunque no imprescindible.

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 DERIVADA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Sea y = Ln x Aplicando la definición de derivada: Ln (x +  x) - Ln x 1 y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ ---------- = -----  x  0  x x Sea y = log x Se procede a un cambio de base: 10 y = x  y = Ln x / Ln 10 1 1 y ' = --------. ---- Ln 10 x En general, sea y = log a x Se procede a un cambio de base: a y = x  y = Ln x / Ln a 1 1 y ' = -------. ---- Ln a x

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.9 Derivada del logaritmo de una función Sea y = Ln f(x) Aplicando la definición de derivada: Ln f(x +  x) - Ln f(x) f ‘ (x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ --------------- = --------------  x  0  x f (x) Fórmula que sólo es válida para logaritmos neperianos. Si el logaritmo no es neperiano, se procederá a un CAMBIO DE BASE. Sea y = log f(x) o y = log a f(x) Aplicando un cambio de base: f(x) = 10 y  y = Ln f(x) / Ln 10 Aplicando un cambio de base: f(x) = a y  y = Ln f(x) / Ln a 1 f ‘ (x) 1 f ‘ (x) y ' = --------. ----------- o y ‘ = --------. ---------- Ln 10 f(x) Ln a f (x)

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.10 DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Sea y = e x la llamada función exponencial. Tomando logaritmos neperianos: Ln y = Ln e x = x. Ln e = x Derivando: D(Ln y) = D( ln f (x) ) = f ’(x) / f (x) como ya hemos visto. y ‘ / y = 1  y ‘ = y. 1 = y  y ‘ = e x La derivada de la función exponencial es la misma función exponencial. Sea y = a x, donde a es siempre un número real y positivo. Tomando logaritmos: Ln y = x. Ln a ; y derivamos... y ‘ / y = [ 1. Ln a + x. 0] ; y ‘ = y. Ln a  y ‘ = a x. Ln a

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11 Sea y = a f(x ), donde a es siempre un número real y positivo. Tomando logaritmos: Ln y = f(x). Ln a ; y derivamos... y ‘ / y = [ f ‘ (x). Ln a + f(x). 0] ; y ‘ = y. [ f ‘ (x).Ln a ]  f(x)  y ‘ = a. f ‘ (x). Ln a g(x) Sea y = f (x), función POLINÓMICO-EXPONENCIAL Tomando logaritmos: Ln y = g(x). Ln f(x) ; y derivamos... y ‘ / y = [ g ‘ (x). Ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) )]  y ‘ = y. [ … ]  g(x) y ‘ = f (x). [ g ‘ (x). Ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) ) ]

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.12 DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Como hemos visto las razones trigonométricas están relacionadas entre sí. Ello hace que sólo tengamos que saber las derivadas de las dos primeras en la mayoría de los casos: Sea y = sen x  y ‘ = cos x Sea y = cos x  y ‘ = - sen x Al poder poner y = tg x como y = sen x / cos x, para derivarla la trataremos como una división de funciones. Seay = tag x = sen x / cos x  y ‘ = [ (sen x)’. cos x – sen x.(cos x)’ ] / cos 2 x = = [ cos x. cos x – sen x. (- sen x) ] / cos 2 x = = [ cos 2 x + sen 2 x ] / cos 2 x = 1 / cos 2 x Y del mismo modo el resto de funciones trigonométricas.

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.13 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE FUNCIÓN REGLA DE LA CADENA Ya hemos visto como dadas dos funciones f(x) y g(x), no es lo mismo y = f(g(x)) que y = g(f(x)) Ambas funciones compuestas son diferentes, y diferentes serán por tanto sus funciones derivadas. Sea y = f(g(x))  y’ = f ’ (g(x)). g ‘ (x) Sea y = g(f(x))  y’ = g ‘ (f(x)). f ‘ (x) Ejemplo 1 Sea y = sen 7 x  Función potencia  y ‘ = 7. sen 6 x. cos x Ejemplo 2 Sea y = sen x 7  Función trigonométrica  y ‘ = cos x 7. 7. x 6