Teorema del valor medio Extremos locales Teorema del valor medio

Habilidades Define el concepto de extremos locales Define el Teorema del valor extremo. Ilustra su significado geométricamente. Define e interpreta el Teorema de Fermat. Calcula puntos críticos analizando premisas.

Valores máximos y mínimos Definición Sea D el dominio de f. Se dice que cD es un punto de máximo absoluto de f si para todo xD. El número f(c) se llama valor máximo absoluto de f en D. Se dice que cD es un punto de mínimo absoluto de f si para todo xD. El número f(c) se llama valor mínimo absoluto de f en D. Los valores máximo y mínimo se conocen genéricamente como valores extremos absolutos de f.

Ejemplo Ubique los puntos de máximo y mínimo absoluto de f : b a E H G C D E F G H a b

Valores máximos y mínimos locales Definición Se dice que c es un punto de máximo relativo o local de f si para todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c. Se dice que c es un punto de mínimo relativo o local de f si para todo x en algún intervalo abierto dentro del dominio de f que contiene a c. Los valores máximo y mínimo locales se conocen genéricamente como valores extremos locales de f.

Ejemplo Ubique los puntos de máximo y mínimo relativos de f : b a E H C D E F G H a b

Ejemplo y x a c1 b c2 c3 c4 d1 d2 d3 máximo absoluto puntos de mínimo local puntos de máximo absoluto

Ejemplo ¿Tiene f extremos locales?, ¿tiene extremos absolutos? y x

Teorema del valor extremo Si f es continua en [a, b] entonces: f alcanza un máximo absoluto f (c) y un mínimo absoluto f (d) en algunos números c y d de [a, b]. ¿Se dan las condiciones para que se cumpla el teorema? y x a b y x a b y x a b

ejemplo Determine los extremos absolutos de la función f sobre . x

Teorema de Fermat Si f tiene un extremo local en c y si f ’ (c) existe entonces: y x c1 c2 c3

Teorema del valor medio 1 Continua en [a, b] . Sea f: 2 Derivable en (a, b) . Existe c (a, b) tal que Entonces y x a b c1 c2

Teorema de Rolle Teorema Sea f : 1 Continua en [a, b] . 2 Derivable en (a, b) . 3 f (a)=f (b) . Entonces Existe c (a, b) tal que y x a b c1 c2

Ejemplos Muestre que 5 es un número critico de la función pero g no tiene un extremo local en 5. La función f(x) = IxI tiene un mínimo local en 0, esto contradice las hipótesis del teorema de Fermat. Utilizando el resultado del teorema del valor medio, determine la recta tangente a f, paralela a la recta secante que une los extremos del intervalo.

Puntos críticos Definición Un punto crítico de una función f es un número c en su dominio tal que: Teorema Si f tiene un extremo local en c entonces c es un punto crítico de f.

Ejemplo y x a c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 puntos críticos

Ejemplo y x a c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 puntos de extremo

Ejemplo

Método del intervalo cerrado Para hallar los extremos absolutos de una función f continua en [a, b]: 1 Halle los valores de f en los puntos críticos de f en <a, b>. 2 Halle f(a) y f(b). 3 El mayor de los valores obtenidos en 1 y 2 es el máximo absoluto de f en [a, b]. El más pequeño es el mínimo absoluto.

Ejemplos Determine los extremos absolutos de las funciones en los intervalos que se indican.

Bibliografía “Cálculo de una variable” Cuarta edición James Stewart Secciones 4.1 y 4.2 Encuentre los números críticos de la función: 40; 43, 50, Pág. 285 Encuentre los extremos absolutos de f o justifique la no existencia. Pág. 284 – 285: 17; 30; 56; 63. Ejercicios 4.1 pág 284: 4, 6, 8, 12, 16, 23, 24, 26, 30, 51, 53, 60, 63, 73, 80.