OPERACIONES EN EL INFINITO DÍA 06 * 1º BAD CT OPERACIONES EN EL INFINITO

Operaciones con ± ∞ Más infinito (+ ∞): Representa el concepto, no el número, de ser mayor que cualquier número. Menos infinito (– ∞): Representa el concepto, no el número, de ser menor que cualquier número. Sea a un número real cualquiera. a + ∞ =+ ∞ , a – ∞ =– ∞ + ∞ + ∞ =+ ∞ , – ∞– ∞=– ∞ Si a >0  a .(+ ∞) =+ ∞ , a.(– ∞) =– ∞ (+ ∞) / a =+ ∞ , (– ∞) / a =– ∞ Si a <0  a .(+ ∞) =- ∞ , a.(– ∞) =+ ∞ (+ ∞) /a =- ∞ , (– ∞) /a =+ ∞ (+ ∞).(+ ∞) =(+ ∞) , (– ∞).(– ∞)=(+ ∞) (+ ∞).(- ∞) =(- ∞) , (– ∞).(+ ∞)=(- ∞)

Operaciones con ± ∞ Sea a un número real cualquiera. Si a >1  a + ∞ = + ∞ , a - ∞ = 0 Si 0 < a <1  a + ∞ = 0 , a - ∞ = + ∞ (+oo) ∞ = + ∞ , (± ∞) - ∞ = 0 EXPRESIONES INDETERMINADAS [∞ - ∞] [∞ / ∞] [0. ∞] [0 / 0] ∞ 0 0 [1 ] [∞ ] [0 ]

PROPIEDADES OPERATIVAS DE LOS LÍMITES a) Si existe límite, éste debe ser único. b) El límite de una suma es la suma de los límites: lím (an ± bn) = lím an ± lím bn n∞ n∞ n∞ c) El límite de una constante por una sucesión es la constante por el límite de la sucesión: lím k.an = k. lím an n∞ n∞ d) El límite de un producto o división es el producto de los límites: lím (an . bn) = lím an . lím bn n∞ n∞ n∞ e) El límite de una potencia es la potencia de los limites : bn lím bn lím (an) = (lím an) n∞ n∞ n∞ f) El límite del logaritmo es el logaritmo del límite: lím Log an = Log lím an n∞ a a n∞

Indeterminada [oo/oo] Sabemos que oo / k = oo siempre. Sabemos que k / oo = 0 siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente oo / oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo / oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se divide numerador y denominador entre la potencia de n elevada al mayor de los exponentes que presente dicha variable. N(n) / nm Lím an = Lím -------------- noo noo D(n) / nm Donde m es el enponente de n entre numerador y denominador, N(n) y D(n) Nota: Es la misma indeterminación [oo / oo] , [-oo / oo], [ oo / - oo]

Ejemplo 1 2.n3 - 3n + 1 2.oo3– 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = --------------------- = [-----] noo n3 – n2 - 5 oo3 – oo2 – 5 oo Se divide numerador y denominador entre n elevada al mayor de los exponentes ( n3 ) 2 - (3/n2)+ (1/n3) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – 0 + 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = -------------------------- = ------------- = 2/1 = 2 noo 1 – (1/n) – (5/n3) 1 – (1/oo) – (5/oo) 1 – 0 - 0

Ejemplo 2 2.n3 - 3n + 1 2.oo3– 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = ------------------------ = [-------] noo 5 - n2 5 - oo2 - oo Se divide numerador y denominador entre n elevada al mayor de los exponentes ( n3 ) 2 - (3 / n2) + (1 / n3) 2 – (3/oo) + (1/oo) 2 – 0 + 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑--------------------- = -------------------------- = -------------- = noo (5 / n3 ) - (1 / n) (5/oo) - (1/oo) 0 – 0 = 2 / 0 = oo  Vemos que NO existe límite en el infinito.

Indeterminada [0.oo] Sabemos que oo . k = oo siempre. Sabemos que k .0 = 0 siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el producto 0.oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0.oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se multiplican las dos expresiones que nos han producido dicha indeterminación. Lím an . Lím bn = [0.oo] = Lím an.bn noo noo noo Y en general ello va a dar lugare a otra indeterminación de la forma [oo/oo] que ya sabemos resolver.

Ejemplo 1 n – 1 1 + n Sea las sucesiones an = -------- y bn = -------- n 1 – n Hallar los límites de an y bn. Hallar el límite de an + bn. Hallar el límite de an . bn. Hallamos el valor de los límites: a1 = 0, a10 = 0’9, a100 = 0’99  Lím an = 1 noo b1 = oo, b10 = -1’22, a100 = -1’022  Lím bn = -1 Hallamos el limite de la suma: Lím ( an + bn ) = Lím an + Lím bn = 1 + (-1) = 0 noo noo noo Hallamos el limite del producto: Lím ( an . bn ) = Lím an . Lím bn = 1 .(-1) = - 1 noo noo noo

Ejemplo 2 n2 – 1 1 Sea las sucesiones an = -------- y bn = -------- n n - 1 Hallar los límites de an , bn , an + bn. , y an . bn. Hallamos el valor de los límites: a1 = 0, a10 = 9’9, a100 = 99’99  Lím an = oo No tiene noo b1 = oo, b10 = 0,11, a100 = 0,011 Lím bn = 0 Hallamos el limite de la suma: Lím ( an + bn ) = Lím an + Lím bn = oo + 0 = oo No tiene noo noo noo Hallamos el limite del producto: Lím ( an . bn ) = Lím an . Lím bn = oo. 0 = INDETERMINACIÓN noo noo noo Lím ( an . bn ) = Lím (n2 – 1)/n.(n – 1) = Lím (n + 1)/n = 1 noo noo noo