Matemáticas Aplicadas CS I INTERPOLACIÓN Tema 7 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

FUNCIONES DEFINIDAS POR TABLAS Tema 7.1 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I TABULACIÓN En cualquier investigación realizada en el campo de las ciencias naturales, tecnológicas o sociales, hay un momento en el que es obligado recoger datos. La presentación de dichos datos, para poder trabajar con ellos después, se realiza mediante tablas y se denomina TABULACIÓN de resultados. EJEMPLO En una prueba psicotécnica se ha observado los siguientes resultados: Duración en minutos 5 10 15 20 25 30 Nº de fallos 7 13 16 19 22 a) Podemos representar gráficamente los resultados. b) Podemos buscar una función que nos relacione ambas variables. c) Podemos encontrar valores que no vienen en la tabla de tabulación. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I 21 14 7 0 5 10 15 20 25 30 min a) Gráfico. b) Se aprecia que es una función lineal, donde m = 3/5 = 0,60. Luego y – 10 = 0,60.(x – 10)  f(x) = 0,60.x + 4 c) Obtenemos los fallos en un tiempo de 7 minutos: f(7) = 0,60.7 + 4 = 4,2 + 4 = 8 fallos Obtenemos el tiempo para cometer 20 fallos: 20 = 0,60.x + 4  16 = 0,60.x  x = 27 minutos @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN Tema 7.2 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN Interpolar es calcular el valor aproximado de una función para un valor determinado de la variable independiente (x) cuando éste se encuentre en el intervalo de valores tabulados. EJEMPLO Hallar el número de fallos de la prueba para un tiempo de 13 minutos. 21 14 7 12 fallos 0 5 10 13 15 20 25 30 min @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Extrapolación Extrapolar es calcular el valor aproximado de una función para un valor determinado de la variable independiente (x) cuando éste esté fuera del intervalo de valores tabulados. EJEMPLO Hallar el número de fallos de la prueba para un tiempo de 40 minutos. 28 21 14 28 fallos 0 15 20 25 30 35 40 min @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I INTERPOLACIÓN LINEAL Tema 7.3 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I INTERPOLACIÓN LINEAL 17 13 9 5 Sea la Tabla: X Y 1 5 5 13 Calculamos la pendiente: m=(13-5)/(5-1)= = 8/4 =2 Tomando el punto P(1,5) y la ecuación punto-pendiente: y-yo=m.(x-xo) y-5 = 2.(x-1) y = 2.x – 2+5 y=2.x + 3 Que es la función de interpolación lineal. 0 1 3 5 7 Interpolamos para x=3 f(x) = mx+n f(x) = 2.x + 3 f(3) = 2.3 + 3 = 6 + 3 = 9 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EXTRAPOLACIÓN LINEAL 17 13 9 5 Sea la Tabla: X Y 1 5 5 13 Calculamos la pendiente: m=(13-5)/(5-1)= = 8/4 =2 Tomando el otro punto P(5,13) y la ecuación punto-pendiente: y-yo=m.(x-xo) y-13 = 2.(x-5) y = 2.x – 10+13 y=2.x + 3 Que es la función de interpolación lineal. 0 1 3 5 7 Extrapolamos para x=7 f(x) = mx+n f(x) = 2.x + 3 f(7) = 2.7 + 3 = 14 + 3 = 17 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejercicio completo 1 Sea la Tabla: Año Habitantes 2001 5000 2002 7000 2003 9000 2005 13000 Tomando los tres primeros datos: Δx = 1 = Cte Δy = 2000 = Cte Podemos hacer una interpolación lineal. y=mx + n Tomo dos de los tres primeros datos: 7000 = m.2002 +n 5000 = m.2001 +n Resuelvo el sistema por Reducción: m = (7000-5000)/(2002-2001) = 2000  De la primera ecuación del sistema: n = 7000-2000.2002 = - 3997000 (Nota: Se podría haber hecho también por la ecuación punto-pendiente). f(x) = 2000.x – 3997000 sería la F. de Interpolación Lineal, que sirve tanto para interpolar como para extrapolar. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Pero sería falsa si no cumpliese que para el año 2005 había 13000 habitantes. La función dada en forma de tabla de valores no sería lineal. Comprobamos: 13000 = 2000.2005 – 3997000 13000 = 4010000 – 3997000  13000 = 13000 Interpolamos para el año 2004, que es un dato que no nos dan: f(2004) = 2000.2004 – 3997000 = 11000 Extrapolamos para hallar la población en el año 2010: f(2010) =2000.2010 – 3997000 = 4020000 – 3997000 = 2.3000 habitantes. En la práctica, con problemas reales, al extrapolar no conviene que el valor de la variable independiente esté muy alejada de los valores mínimos y máximos facilitados en la Tabla pues el error podría ser muy alto si la tendencia no se mantiene. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejercicio completo 2 Sea la Tabla: Año Habitantes 2002 7000 2005 13000 En la práctica podemos simplificar mucho las operaciones haciendo el siguiente cambio: 2 7 5 13 Como sólo me dan dos pares de valores, realizo una interpolación lineal: y=mx + n Calculo la pendiente: m = (13-7)/(5-2) = 6/3 = 2 Por la ecuación punto-pendiente: y-yo=m.(x.xo) y-7 =2.(x-2) y=2.x -4+7 f(x) = 2.x + 3 sería la F. de Interpolación Lineal, que sirve tanto para interpolar como para extrapolar. f(2004)f(4)=2.4+3 = 11 miles de habitantes. F(2010)f(10)=2.10+3=23 miles de habitantes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Ejercicio completo 3 Sea la Tabla: Curso Alumnos 2002-03 744 2005-06 627 En la práctica podemos simplificar mucho las operaciones haciendo el siguiente cambio: Año Habitantes 2 744 5 627 Como sólo me dan dos pares de valores, realizo una interpolación lineal: y=mx + n Calculo la pendiente: m = (627 - 744)/(5 – 2) = – 117 / 3 = – 39 Por la ecuación punto-pendiente: y – yo=m.(x – xo) y – 744 = – 39.(x – 2) y = – 39.x + 78 + 744 f(x) = – 39.x + 822 F. de Interpolación Lineal, que sirve tanto para interpolar como para extrapolar. f(2004)f(4)= – 39.4 + 822 = 666 alumnos F(2010)f(10)= – 39.10 + 822 = 432 alumnos @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I