Tema III Determinantes

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1 Tema III Determinantes
MATEMÁTICAS A. CS II Tema III Determinantes @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

2 RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES
TEMA * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

3 Apuntes 2º Bachillerato C.S.
RANGO DE UNA MATRIZ RANGO DE UNA MATRIZ Es el orden del determinante de mayor orden de valor no nulo de dicha matriz. Ejemplo 1 Sea la matriz A = El rango de A no puede ser 4, puesto que no es una matriz cuadrada y el mayor determinante es de orden 3 Veamos si es de rango 3: Todos los determinantes que tomemos tendrán 2 columnas iguales, por lo que su valor es 0. El rango de A no puede ser 3  Rang (A) ≤ 2 Veamos si el rango es 2: 1 1 = 1 – 0 = 1 <> 0  Rango (A) = 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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RANGO DE UNA MATRIZ RANGO DE UNA MATRIZ Es el orden del determinante de mayor orden de valor no nulo de dicha matriz. Ejemplo 2 Sea la matriz A = Vemos que hay al menos un elemento ( a11 = 1) que es distinto de 0, luego el RANGO de A es, al menos, igual a 1  Rang (A) ≥ 1 Vemos que hay, al menos, un determinante de orden dos no nulo: 1 0 = = 1 <> 0 Luego el Rango de A es, al menos, igual a 2  Rang (A) ≥ 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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… Ejemplo 2 Veamos si existe algún determinante de orden 3 no nulo: = =0; = – 1 <> 0 Luego el Rango de A es, al menos, igual a 3  Rang (A) ≥ 3. Y por último sólo nos queda ver si el Rango de A es 4: Desarrollamos por adjuntos de la primera fila: = A = = 1.(3+3-1) – (-1) – 3 (1) = 5 – 2 – 3 = 0 Luego podemos afirmar que el Rango de la matriz A no vale 4 , al ser de valor nulo el único determinante de orden 4 que existe  Rang (A) = 3. Conclusión: Una fila o columna es combinación lineal de otra/s. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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RANGO DE UNA MATRIZ RANGO DE UNA MATRIZ Es el orden del determinante de mayor orden de valor no nulo de dicha matriz. Ejemplo 3 Sea la matriz A = Vemos que hay al menos un elemento ( a11 = 1) que es distinto de 0, luego el RANGO de A es, al menos, igual a 1  Rang (A) ≥ 1 Vemos que hay, al menos, un determinante de orden dos no nulo: 1 0 = = 1 <> 0 Luego el Rango de A es, al menos, igual a 2  Rang (A) ≥ 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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… Ejemplo 3 Veamos si existe algún determinante de orden 3 no nulo: = – 2 – 1 -0 = - 2 <> 0 Luego el Rango de A es, al menos, igual a 3  Rang (A) ≥ 3. Y por último sólo nos queda ver si el Rango de A es 4: Desarrollamos por adjuntos de la primera fila: = = 1.( ) – 0. ( ) + 2. ( ) – 3 ( ) = = 1.0 – 0.(-1) + 2. (-1) – 3.0 = 0 – 0 – 2 – 0 = -2 <> 0 Luego podemos afirmar que el Rango de la matriz A vale 4 , al ser de valor no nulo el único determinante de orden 4 que existe  Rang (A) = 4. Nota: Podíamos haber comenzado por estudiar si el Rango era 4, luego si era 3, luego si era 2 y por último si era 1. El orden es lo de menos. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Aplicación práctica Sea un sistema de 4 ecuaciones con cuatro incógnitas: x,y,z y t. Estudiamos el rango del determinante que forman los coeficientes: 1.-Si el rango es cuatro, Rag A = 4 El sistema es compatible y determinado, Cada incógnita tiene un valor real determinado. Ejemplo: x = 2, y = – 3, z = 0 y t = 1/2 2.-Si el rango es tres, Rag A = 3 El sistema es compatible e indeterminado. El valor de las incógnitas no está determinado (no el de todas). Tres de las incógnitas dependen del valor de la cuarta. Ejemplo: x = 2 – t , y = – t , z = 5 Hay infinitas soluciones. 3.-Si el rango es dos (o uno), Rag A = 2 (o Rag A = 1) El valor de las incógnitas no está determinado. Dos ( o una) de las incógnitas dependen del valor de las otras. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Ejercicio Resuelve el siguiente sistema: x – 2.y + z – t = – 4 2.x + y – z = 1  A.X = C x – y t = 11 2.x – 3.y + z + 2.t = 7 x 4 A = X = y C = 1 – z 11 t Lo puedo resolver aplicando el método de Gauss-Jordan. Veamos el rango que presenta la matriz de los coeficientes. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Ejercicio Hallo el valor del determinante de la matriz. Para ello busco el pivote, el 1 Y opero a semejanza del Método de Gauss |A| = = – A la cuarta fila le resto la tercera: |A| = = 0, al tener una fila todos ceros. El rango de A no es 4. El sistema es indeterminado. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Ejercicio Busco cualquier determinante de orden 3 de valor no nulo. |A| = = = -2 <> 0 El rango de A es 3, pues existe al menos un determinante de orden 3. El sistema que me dan se transforma en el siguiente: x – 2.y + z = – 4 + t 2.x + y – z = 1  A.X = C x – y = 11 – 3.t Por Gauss: F2 = F2 – 2xF1 y F3 = F3 – F1 x – 2.y + z = – 4 + t 5. y – 3.z = 9 – 2.t y – z = 15 – 4.t @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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Ejercicio Por Gauss: F2 = F2 – 5F3 x – 2.y + z = – 4 + t + 2.z = – t y – z = 15 – 4.t Por Gauss, permutando F2 y F3: x – 2.y + z = – 4 + t 2.z = – t Resolviendo: z = – t y – (– t) = 15 – 4.t  y = – t x – 2.(– t ) + (– t) = – 4 + t x + 36 – 10.t – 33 – 9.t = – 4 + t  x = – t Como se ve los valores de x,y,z dependen de t  Sistema Indeterminado. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.