@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL MATEMÁTICAS A. CS II Tema 12.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL MATEMÁTICAS A. CS II Tema 12

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS2 AJUSTE A LA BINOMIAL TEMA 12.4 * 2º B CS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS3 AJUSTE A UNA BINOMIAL Las muestras que se obtienen de una población para investigar un fenómeno se estudian a través de una distribución estadística. Cuando se tenga cierta seguridad de que el fenómeno se rige por las características binomiales, se puede modelizar, ajustar la distribución de probabilidad discreta a una binomial. _ _ Para ello:n.p = x  obteniendo p, ya que p = x / n Pero no siempre se puede realizar tal ajuste, o mejor dicho, no siempre es viable por darnos datos muy alejados de los reales.

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS4 Ejemplo_1 En un control de calidad efectuado sobre 1000 piezas en una fábrica, para detectar defectos, se ha anotado lo siguiente: Los resultados son 0 fallos, 1 fallo, 2 fallos y 3 fallos. Podemos suponer que existe una distribución binomial B(3, p) que nos da la probabilidad de r = 0, 1, 2 y 3 fallos. O sea, un suceso con una probabilidad p de éxito se repite 3 veces. Habrá que calcular el valor de p y luego ver si las distintas probabilidades calculadas se aproximan a las frecuencias relativas dadas para validar o no el ajuste realizado La media muestral de la distribución discreta dada será: x =∑x.f / ∑.f = (0.292+1.421+2.250+3.37)/ 1000 = 1,032 Como μ = n.p, 1,032 = 3.p, de donde p = 0,35 La binomial B(3, 0,35) es la del mejor ajuste. x0123Total f292421250371000 fr0,2920,4210,250,037

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS5 Vemos que las frecuencias teóricas y observadas difieren muy poco. El grado de aproximación es aceptable. Nota: Como en muchos trabajos de investigación estadística, las frecuencias se han tomado en tanto por miles, no en %. ProbabilidadesFrecuencias teóricasFrecuencias observadas ( reales ) P(x=0) = 0,2751000.0,275 = 275292 P(x=1) = 0,4441000.0,444 = 444421 P(x=2) = 0,2391000.0,239 = 239250 P(x=3) = 0,0421000.0,042 = 4237 Ya tenemos la binomial que mejor ajusta: B(3, 0,35). Calculamos P(x=0), P(x=1) P(x=2) y P(x=3) Para ello podemos utilizar el binomio de Newton: (0,65 + 0,35) 3 = C 3,0.0,65 3 + C 3,1.0,35.0,65 2 + C 3,2.0,35 2.0,65 + C 3,3.0,35 3 = = 0,275 + 0,444 + 0,239 + 0,042, que son las probabilidades a calcular.

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS6 Ejemplo_2: En una empresa se ha realizado una prueba a 100 trabajadores para determinar quien reúne las tres características esenciales para un ascenso profesional. Se observó los siguientes resultados: Los resultados son 0, 1, 2 y 3 características de promoción. Podemos suponer que existe una distribución binomial B(3, p) que nos da la probabilidad de r = 0, 1, 2 y 3 características. O sea, un suceso con una probabilidad p de éxito se repite 3 veces. Habrá que calcular el valor de p y luego ver si las distintas probabilidades calculadas se aproximan a las frecuencias relativas dadas para validar o no el ajuste realizado. La media muestral de la distribución discreta dada será: x =∑x.f / ∑.f = (0.40+1.20+2.10+3.30)/ 100 = 1,3 Como μ = n.p, 1,3 = 3.p, de donde p = 0,4333 La binomial B(3, 0,4333) es la del mejor ajuste. x0123Total f40201030100 fr0,40,20,10,3

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS7 Vemos que las frecuencias teóricas y observadas difieren muchísimo. No se puede aceptar el ajuste. La binomial B(3,0,4333) es la de mejor ajuste, pero en nuestro caso no podemos hacerlo porque cometeríamos unos errores muy grandes. ProbabilidadesFrecuencias teóricasFrecuencias observadas ( reales ) P(x=0) = 0,081100.0,081 = 840 P(x=1) = 0,318100.0,318 = 3220 P(x=2) = 0,417100.0,417 = 4210 P(x=3) = 0,182100.0,182 = 1830 Ya tenemos la binomial que mejor ajusta: B(3, 0,4333). Calculamos P(x=0), P(x=1) P(x=2) y P(x=3) Para ello podemos utilizar el binomio de Newton: (0,5666 + 0,4333) 3 = C 3,0.0,5666 3 + C 3,1.0,4333.0,5666 2 + + C 3,2.0,4333 2.0,5666 + C 3,3.0,5666 3 = 0,081 + 0,318 + 0,417 + 0,182

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS8 Ejemplo_3 En unas oposiciones se han realizado 4 exámenes a 400 opositores. Hemos anotado lo siguiente: Los resultados son 0, 1, 2, 3 y 4 exámenes aprobados. Podemos suponer que existe una distribución binomial B(4, p) que nos da la probabilidad de r = 0, 1, 2, 3 y 4 exámenes aprobados. O sea, un suceso con una probabilidad p de éxito se repite 4 veces. Habrá que calcular el valor de p y luego ver si las distintas probabilidades calculadas se aproximan a las frecuencias relativas dadas para validar o no el ajuste realizado La media muestral de la distribución discreta dada será: x =∑x.f / ∑.f = (0.60+1.100+2.120+3.60+4.40)/ 400 = 680/400=1,7 Como μ = n.p, 1,7 = 4.p, de donde p = 0,425 La binomial B(4, 0,425) es la del mejor ajuste. x01234Total f601001206040400 fr0,150,250,300,150,10

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS9 Vemos que las frecuencias teóricas y observadas difieren algo. El grado de aproximación es aceptable si el estudio no requiere precisión. ProbabilidadesFrecuencias teóricasFrecuencias observadas ( reales ) P(x=0) = 0,109400.0,109 = 4460 P(x=1) = 0,323400.0,323 = 129100 P(x=2) = 0,358400.0,358 = 123120 P(x=3) = 0,177400.0,177 = 7160 P(x=4) = 0,033400.0,033 = 1340 Ya tenemos la binomial que mejor ajusta: B(4, 0,425). Calculamos P(x=0), P(x=1), P(x=2), P(x=3) y P(x=4) Para ello podemos utilizar el binomio de Newton: (0,575 + 0,425) 4 = C 4,0.0,575 4 + C 4,1.0,425.0,575 3 + C 4,2.0,425 2.0,575 2 + + C 4,3.0,425 3.0,575 + C 4,4.0,425 4 = 0,1093 + 0,3232 + 0,3583 + 0,1766 + 0,0326