@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II TEMA 1 Sistemas de ecuaciones lineales.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II TEMA 1 Sistemas de ecuaciones lineales

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.2 RESOLUCIÓN SIMULTÁNEA DE SISTEMAS LINEALES TEMA 1.8 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 Ejercicio 1 Operando: F3=F3 – F2 y F2=F2 + F1 x+y – z = 7 3.x = 12 x + 2.y + z = - 1 Vemos que el primer sistema queda idéntico al segundo. Luego son equivalentes.

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 Resolución simultánea RESOLUCIÓN SIMULTÁNEA DE SISTEMAS LINEALES Consiste en resolver a la vez dos o más sistemas de ecuaciones lineales, aplicando el método de Gauss o el de Gauss-Jordan. Para que esto pueda llevarse a cabo los coeficientes de las ecuaciones de los sistemas deben ser idénticos en todas las ecuaciones, aunque no así los términos independientes. a.x + b.y + c.z = p a.x + b.y + c.z = k a’.x + b’.y + c’.z = q a’.x + b’.y + c’.z = m a”.x + b”.y + c”.z = r a”.x + b”.y + c”.z = n Ejemplo x + 2.y – 3.z = 10 x + 2.y – 3.z = – 4 3.x + a.y – z = 7 3.x + a.y – z = 13 5.x – y + 4.z = b 5.x – y + 4.z = 5

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5 Ejercicio_2 Resuelve de forma simultánea los siguientes sistemas: x + 2y – z = 2 x + 2y – z = 7 (F1) 3x – 2y + z = 2 3x – 2y + z = – 3 (F2) 4x + 3y – 2z = 4 4x + 3y – 2z = 0(F3) Operando en ambas: F2 = F2 – 3.F1 y F3 = F3 – 4.F1 x + 2.y – z = 2 x + 2.y – z = 7 – 8.y + 4.z = – 4 – 8.y + 4.z = – 24 – 5.y + 2.z = – 4 – 5.y + 2.z = – 28 Multiplico F2 por 5 y F3 por (– 8) x + 2.y – z = 2 x + 2.y – z = 7 – 40.y + 20.z = – 20 – 40.y + 20.z = – 120 40.y – 16.z = 32 40.y – 16.z = 224

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6 … Tengo: x + 2.y – z = 2 x + 2.y – z = 7F1 – 40.y + 20.z = – 20 – 40.y + 20.z = – 120 F2 40.y – 16.z = 32 40.y – 16.z = 224F3 Opero: Opero F3 + F2 x + 2.y – z = 2 x + 2.y – z = 7 – 40.y + 20.z = – 20 – 40.y + 20.z = – 120 4.z = 12 4.z = 104 Solución Sistema 1Solución Sistema 2 z = 12 / 4 = 3z = 104 / 4 = 26 – 40.y + 20.3 = – 20 – 40.y + 20.26 = – 120 – 40.y = – 20 – 60 – 40.y + 520 = – 20 40.y = 80  y = 2 540 = 40.y  y = 13,5 x + 2.2 – 3 = 2x + 2.13,5 – 26 = 7 x = 2 – 4 + 3  x = 1x = 7 – 27 + 26  x = 6 x = 1, y = 2, z = 3x = 6, y = 13,5, z = 26

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.7 Ejercicio_3 Normalizo el sistema que me dan: x + 2.y + 4.z = - 10 -2.x – 3.y + z = 6 4.x + 5.y + a.z = 8

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 Aplico el métodos de Gauss: F2=F2 + 2.F1 y F3 = F3 – 4.F1 x + 2.y + 4.z = - 10 + y + 9.z = - 14 - 3.y + (a – 16).z = - 32 F3 = F3 + 3.F2 x + 2.y + 4.z = - 10 + y + 9.z = - 14 (a +11).z = - 74 Si (a+11)=0  Sistema incompatible Luego a = - 11 para que el sistema sea incompatible.

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.9 Ejercicio_4 Operaciones: F2=F2+F1 y F3=F3- 3.F1 3x – 3y + 12z = 4 – 9y + 22z = 2 13y – 38z = - 6

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.10 Operaciones: F2=F2:9 y F3=F3:13 3x – 3y + 12z = 4 – y + 2,44z = 0,22 y – 2,9230z = - 0,4615 Sumando F3=F3+F2 3x – 3y + 12z = 4  x – y + 4.z = 4/3 – y + 2,44z = 0,22  - y +2,44.z =0,22 – 0,4830z = - 0,2415  z = 0,5

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11 Operaciones: F2=F2 – 2,44.F3 y F1=F1 – 4.F3 x – y + 4.z = 4/3 – y = - 1 z = 0,5 Sumando F1=F1 – F2 – 4.F3 x = 1/3  x = 1/3 – y = - 1  y = 1 z = 0,5  z = 1/2

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.12 Ejercicio_5 Divido entre 3 la ecuación (1) de ambos: Precaución: Si en lugar del valor exacto de 1/3 opero con su equivalente 0,33, al final del ejercicio debo valorar las soluciones (erróneas). x + 0,33.y – 1,33.z = 1,66 x + 0,33.y – 1,33.z = 4,66 2.x + 3.y + 5.z = - 2 2.x + 3.y + 5.z = 1 3.x + 2.y + 4.z = - 2 3.x + 2.y + 4.z = 1 Operando en ambas:F2 = F2 – 2.F1 y F3 = F3 – 3.F1

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.13 x + 0,33.y – 1,33.z = 1,66 x + 0,33.y – 1,33.z = 4,66 2,33.y + 7,66.z = - 5,33 2,33.y + 7,66.z = - 8,33 y + 8.z = - 7 y + 8.z = -13 Divido F2 entre 2,33 x + 0,33.y – 1,33.z = 1,66 x + 0,33.y – 1,33.z = 4,66 y + 3,2875.z = - 2,2875 y + 3,2875.z = - 3,5751 y + 8.z = - 7 y + 8.z = -13 Opero F3 – F2 x + 0,33.y – 1,33.z = 1,66 x + 0,33.y – 1,33.z = 4,66 y + 3,2875.z = - 2,2875 y + 3,2875.z = - 3,5751 4,7125.z = - 4,7125 4,7125.z = -9,4250 Soluciones: z = - 1, y = 1, x = 0z = - 2, y = 4, x = 0,66

14 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.14 Ejercicios propuestos