@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 NIVEL DE CONFIANZA Tema 13.5 * 2º BCS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS1 NIVEL DE CONFIANZA Tema 13.5 * 2º BCS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS2 NIVEL DE CONFIANZA, ERROR Y TAMAÑO El (1 – α).100% de las muestras cumplen que: |x – μ| < z α/2. σ/√n El valor E = z α/2. σ/√n se llama error máximo admisible. Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra menor será el error, pues se reduce el tamaño del intervalo y podemos afinar más en la estimación. Cuanto mayor sea (1 – α), es decir cuanto más seguros queremos estar de nuestra estimación, mayor será el error. Nota_1 Para aumentar el nivel de confianza debemos aumentar el tamaño de la muestra. Nota_2 Para ser más precisos en la estimación hemos de aumentar el tamaño de la muestra.

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS3 En una distribución normal N(0, 1), si (-k, k) es el intervalo característico correspondiente a una probabilidad p, diremos que k es el valor crítico correspondiente a p. Principales valores críticos 1 – α α/2z α/2 0,9 0,051,645 0,95 0,0251,96 0,99 0,0052,575 Recordatorio: A emplear para ejemplos -k 0 k=z α/2

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS4 EJEMPLO_1 De la observación del trabajo de una fotocopiadora industrial sabemos que la desviación típica, σ, es de 0,45 s. ¿Cuál es el número de medidas de tiempo que hay que realizar para que, con un 99% de confianza, el error de la estimación no exceda de 0,15 s? Resolución: Para un nivel de confianza del 99%, sabemos que α/2 = 0,005 Por Tablas: P(Z≤2,57) = 0,9949 Por Tablas: P(Z≤2,58) = 0,9951 Interpolando: P(Z<2,575) = 0,9950  z α/2 = 2,575 El error máximo admisible es E = z α/2. σ/√n Sustituyendo los datos conocidos: 0,15 = 2,575. 0,45/ √n Operando: √n = 2,575. 0,45 / 0,15  = √n = 2,575. 3 = 7,725 Luego n = 7,725 2 = 59,67 Se deben realizar 60 medidas (el menor entero mayor de 59,67).

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS5 EJEMPLO_2 En una empresa hemos realizado 49 medidas de tiempo en un determinado proceso industrial. La desviación típica, σ, del proceso es de 3,5 min. Deseamos estimar el tiempo medio del proceso con un error máximo de 1 min. ¿Con qué nivel de confianza podremos dar el intervalo?. Resolución: El error máximo admisible es: E = z α/2. σ/√n Sustituyendo los datos conocidos: 1 = z α/2. 3,5 / √49 Operando: √49 = z α/2. 3,5  7 = z α/2. 3,5  2 = z α/2 Por las Tablas de la Normal: P(z < z α/2 ) = P(z < 2) = 0,9772 α/2 = P(z ≥ 2) = 1 – 0,9772 = 0,0228  α = 0,0456 Finalmente: (1 – α) = 1 – 0,0456 = 0,9544 El nivel de confianza será del 95,44 %.

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS6 EJEMPLO_3 En una fábrica de vidrio hemos realizado 36 medidas de capacidad a otras tantas botellas producidas. La desviación típica, σ, del proceso es de 0,045 litros. Deseamos estimar la capacidad media de las botellas fabricadas con un error máximo de 0,0075 litros. ¿Con qué nivel de confianza podremos dar el intervalo?. Resolución: El error máximo admisible es: E = z α/2. σ/√n Sustituyendo los datos conocidos: 0,0075 = z α/2. 0,045 / √36 Operando: √36. 0,0075 = z α/2. 0,045  0,045 = z α/2. 0,045  1 = z α/2 – 1 0 1 Z Muestra

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS7 … EJEMPLO_3 … Resolución: Por las Tablas de la Normal: P(z < z α/2 ) = P(z < 1) = 0,8413 α/2 = P(z ≥ 1) = 1 – 0,8413 = 0,1587  α = 0,3174 Finalmente: (1 – α) = 1 – 0,3174 = 0,6826 El nivel de confianza será del 68,26 %. El nivel de confianza es pequeño, al ser la muestra pequeña y el error máximo admisible también muy pequeño. IMPORTANTE: Nótese que hemos estimado la media sin conocerla ni tener datos para hallarla; ni la media de la muestra ni de la población. μ – σ σ μ + σ X

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato CS8 EJEMPLO_4 a)Con un nivel de confianza del 90%, en lugar del 99%, tomar los datos del Ejercicio_1. b)Con un nivel de confianza del 50%, en lugar del 99%, tomar los datos del Ejercicio_1. EJEMPLO_5 a)Realizando 25 medidas, en lugar de 49, tomar los datos del Ejercicio_2. EJEMPLO_6 a)El error máximo admisible de 0,00075 litros, en lugar de 0,0075 litros, tomando los datos del Ejercicio_3. Ejercicios propuestos