@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema VII Derivadas.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema VII Derivadas

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.2 FUNCIÓN DERIVADA Tema 7.3 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 FUNCIÓN DERIVADA FUNCIÓN DERIVADA Si f es una función derivable en un intervalo (a,b) є R, la función derivada de f es la que a cada x ε (a,b) le hace corresponder la derivada de f en dicho punto. Esta función se designa por f ’(x) o D f(x) f (x + h) – f (x) f `(x) = lím -------------------- h  0 h La función derivada es una función y por tanto una expresión algebraica

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 024 EJEMPLO 1 Sea la función y = - x 2 + 4x Hallar la función derivada. f(x+h) – f(x) f ’(x) = lím ----------------- = h  0 h - (x+h) 2 + 4.(x+h) – ( - x 2 + 4x) = lím ---------------------------------------- = h  0 h - x 2 -2hx -h 2 + 4x + 4h + x 2 - 4x = lím ---------------------------------------- = h  0 h - 2hx + 4h - h 2 = lím --------------------- = - 2.x + 4 h  0 h f ’(x) = - 2.x + 4 m>0 m=0 m<0

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5 024 APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN DERIVADA PARA HALLAR LA DERIVADA EN UN PUNTO Sea la función y = - x 2 + 4x S u función derivada es: f ’(x) = - 2.x + 4 Comprobemos: f ’(1) = - 2.1 + 4 = + 2 > 0 f ’(2) = - 2.2 + 4 = 0 f ’(3) = - 2.3 + 4 = - 2 < 0 Efectivamente la función derivada es tal que nos proporciona el valor de la derivada (pendiente) de la función en cualquier punto de la misma. m>0 m=0 m<0

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6 f(x) = x 2 y=4 x=2 EJEMPLO 2 Sea f(x) = x 2 Calculemos la función derivada. f ‘ (x) = 2.x, que es otra función. La función derivada es otra función. Calculemos la derivada de la función en un punto, en x=2 f ‘ (x) = 2.x,, f ‘ (2) = 2.2 = 4 La derivada de la función en un punto es un cardinal ( un número ). La derivada de una función cuadrática es una función lineal: y la derivada de una función lineal es una función constante. f ‘ (x) = 2.x

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.7 DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS. Sea f(x) = k Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + ▲x) - f(x) k - k 0 f ‘ (x) = lím ---------------------- = --------- = ------- = 0 ▲x  0 ▲x ▲x ▲x Sea f(x) = x Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + ▲x) - f(x) x + ▲x - x ▲x f ‘ (x) = lím ---------------------- = ----------------- = ------- = 1 ▲x  0 ▲x▲x ▲x Sea f(x) = k.x Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + ▲x) - f(x) k.x + k▲x - kx k▲x f ‘ (x) = lím ---------------------- = ----------------------- = --------- = k ▲x  0 ▲x▲x ▲x

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 Sea f(x) = x 2 Aplicando la definición de derivada de una función: f (x +▲x) - f(x) (x +▲x) 2 - x 2 x 2 + 2.x.▲x +▲x 2 - x 2 f ‘ (x) = lím --------------------- = ------------------- = -------------------------------- = ▲x  0 ▲x▲x ▲x 2.x.▲x + ▲x 2 = lím ---------------------- = 2.x + ▲x = 2.x + 0 = 2.x ▲x  0 ▲x Sea f(x) = x 3  De igual manera se llegaría a que f ‘ (x) = 3. x 2 Generalizando: f (x) = x n  f ‘ (x) = n. x n – 1

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.9 ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE EN UN PUNTO 0 Sea la función y = f(x) G ráficamente, la derivada de la función en un punto P(xo,yo) de su dominio, es la pendiente, m, de la recta tangente a la curva que pasa por dicho punto. f ´(xo) = m Conocida la pendiente m y un punto P(xo,yo) por donde pasa ( el punto de tangencia con la curva), aplicamos la ecuación punto-pendiente: y – yo = m.(x – xo) Asimismo en aquellos puntos cuya derivada sea negativa (m<0), la función será DECRECIENTE. Y si su derivada es positiva (m>0), la función será CRECIENTE. m>0 m=0 m<0

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.10 0 1,5 2 3 4 EJEMPLO 1 Hallar la ecuación de la recta tangente a la función y = - x 2 + 4x En x=1,5 x=1,5  y = – 2,25 + 6 = 3,75 Punto de tangencia  P(1,5, 3,75) La función derivada es: f ’ (x) = – 2.x + 4 (Ya realizada anteriormente) La derivada en x=1,5 vale: f ’ (1,5) = – 2.1,5 + 4 = 1 Por la ecuación punto-pendiente: y – yo = m.(x – xo) y – 3,75 = 1.(x – 1,5) y = x + 2,25 Y además podemos deducir: f ’(1) = m = 2 > 0  Creciente m>0 m=0 m<0

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11 0 1,5 2 3 4 EJEMPLO 2 Hallar la ecuación de la recta tangente a la función y = - x 2 + 4x En x=3 x=3  y = – 9 + 12 = 3  Punto de tangencia  P(3, 3) La función derivada es: f ’ (x) = – 2.x + 4 (Ya realizada anteriormente) La derivada en x=3 vale: f ’ (3) = – 2.3 + 4 = – 2 Por la ecuación punto-pendiente: y – yo = m.(x – xo) y – 3 = – 2.(x – 3) y = – 2.x + 9 Y además podemos deducir: f ’(3) = m = – 2 < 0  Decreciente m>0 m=0 m<0

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.12 EJEMPLO 3 Sea la función: a)Calcula la función derivada. b)¿En qué punto de gráfica de f la derivada vale 10?. c)¿En qué punto de gráfica de f la tangente es horizontal?. d)¿Hay algún punto de la gráfica en que la tangente sea paralela a la recta y = - 3.x + 2 ?

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.13 RESOLUCIÓN a)Hallamos la función derivada. f(x+h) – f(x) f ’(x) = lím ----------------- = h  0 h 0,33.(x+h) 3 + 0,50.(x+h) 2 – 6.(x+h) – 0,33.x 3 – 0,50.x 2 + 6.x = lím ------------------------------------------------------------------------------- = h  0 h 0,33.(x 3 +3.x 2.h+3.x.h 2 +h 3 ) +0,50.(x 2 +2.x.h+h 2 ) – 6.x – 6.h – 0,33.x 3 – 0,50.x 2 + 6.x = lím ------------------------------------------------------------------------------- = h  0 h x 2.h + x.h 2 + 0,33.h 3 + 0,50.h 2 – 6.h = lím ---------------------------------------------------------------- = h  0 h = lím ( x 2 + x.h + 0,33.h 2 + 0,50.h – 6 ) = x 2 + x – 6 h  0

14 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.14 RESOLUCIÓN b)Punto en que f´(x) vale 14. f ’(x) = x 2 + x – 6  x 2 + x – 6 =14  x 2 + x – 20 = 0 Resolviendo la ecuación: x = [ – 1±√(1+80)]/2 = 4 y – 5 c)Tangente horizontal La pendiente de la recta tangente debe ser cero. m = f ’(x) = x 2 + x – 6  x 2 + x – 6 =0 Resolviendo la ecuación: x = [ – 1±√(1+24)]/2 = 2 y – 3 d)Tangente paralela a la recta y = - 3.x + 2 Al ser paralela debe tener la misma pendiente. m = f ’(x) = x 2 + x – 6  x 2 + x – 6 = – 3  x 2 + x – 3 = 0 Resolviendo la ecuación: x = [ – 1±√(1+12)]/2 = 1,30 y – 2,30 Importante: Aquí hemos hallado las abscisas (valores de x) de los puntos de tangencia pedidos. Hay que hallar también las correspondientes ordenadas o imágenes (valores de y)