@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 PROBABILIDAD TEMA 14

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO2 UNIÓN E INTERSECCIÓN DE SUCESOS TEMA 14.6 * 3º ESO

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 5.-SUCESOS INCOMPATIBLES Si A y B son sucesos incompatibles ( no se pueden dar a la vez ) la probabilidad de AUB es la suma de las probabilidades. Al no poder darse a la vez, no hay intersección, no hay elementos comunes: A∩B = Ø Podemos poner: P(A U B) = P(A) + P(B) Ejemplos 1.-Al extraer una carta de una baraja, que el resultado sea oro o copa. P(O U C) = P(O) + P(C) = (10/40) + (10/40) = 0,25 + 0,25 = 0,5 2.-Al lanzar un dado al aire, que el resultado sea un 5 ó un 6. P(5 U 6) = P(5) + P(6) = (1/6) + (1/6) = 0, , = 0, Sucesos incompatibles

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO4 6.-SUCESOS COMPATIBLES Si A y B son sucesos compatibles (se pueden dar a la vez) la probabilidad de AUB es la suma de las probabilidades menos el producto de las mismas. Al poder darse a la vez, hay intersección, hay elementos comunes: A∩B ≠ Ø Debemos poner: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A).P(B) Ejemplo 1 Al extraer una carta de una baraja, que el resultado sea un oro o una figura. P(O U F) = P(O)+P(F) - P(O).P(F) = = (10/40)+(12/40) - (10/40).(12/40) = 0,475 Vemos que hay tres figuras de oros. El producto P(O).P(F) representa las tres figuras que se repiten, que son idénticas. Sucesos compatibles

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO5 Ejemplo 2 Hallar la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja el resultado sea un oro o un rey. P(O)=10/40=0,25 P(R) =4/40=0,10 P(OUR)=P(O)+P(R) - P(O).P(R) P(OUR)=0,25+0,10 – 0,25.0,10 P(OUR)=0,35 – 0,025 P(OUR)=0, Rc 4 5 Re 67 Ro Rb So Co R O E 27 cartas más

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO6 Ejemplo 3 Un cazador, A, acierta 3 veces de cada 5 disparos. Otro cazador, B, acierta 4 veces de cada 8 disparos. Salen los dos a cazar y disparan a una pieza al unísono. Hallar la probabilidad de que … a)Acierten el disparo los dos. b)La pieza sea cazada. c)La pieza resulte libre. a)Los sucesos son compatibles, pues pueden acertar los dos. P(A) = 3/5 = 0,60 P(B) = 4/8 = 0,50 P(AΛB) = P(A).P(B) = 0,60.0,50 = 0,30 b)La pueden acertan A, B o ambos. P(AUB)=P(A) + P(B) – P(A).P(B) = = 0,60 + 0,50 – 0,30 = 1,10 – 0,30 = 0,80 Si no restamos el producto ( por ser compatibles) observar que la suma nos hubiera dado 1,10, lo cual es un valor imposible en probabilidad. c)Resultar libre es lo contrario de resultar cazada. P(L) = 1 – P(C) = 1 – 0,80 = 0,20

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO7 Ejemplo 4 La probabilidad de que Ana apruebe Matemáticas es del 55% y de que apruebe Física es del 35%. Hallar la probabilidad de que … a)Apruebe las dos. b)Apruebe Matemáticas, Física o ambas. c)No apruebe ninguna. d)Apruebe sólo Matemáticas. a)Los sucesos son compatibles, pues puede aprobar ambas. P(Matemáticas) = P(M) = 55% = 55/100 = 0,55 P(Física) = P(F) = 35% = 35/100 = 0,35 P(MΛF) = P(M).P(F) = 0,55.0,35 = 0,1925 b)Que apruebe M, F o ambas. P(MUF)=P(M) + P(F) – P(M).P(F) = = 0,55 + 0,35 – 0,1925 = 0,9000 – 0,1925 = 0,7075 c)Que no apruebe ninguna: P(Ninguna) = 1 – P(Alguna o ambas) = 1 – 0,7075 = 0,2925 d)Que apruebe sólo Matemáticas: P(MΛNF) = P(M).P(NF) = P(M).[1 – P(F)] = 0,55.(1 – 0,35) = 0,3575

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 Ejemplo 5 Una vivienda rural es compartida por tres familias, A, B y C. Ocupan el 55%, el 40% y el 30% de la vivienda respectivamente. Hay espacios comunes a dos y a las tres familias. Hallar la probabilidad de que eligiendo un lugar al azar: a) Coincidan A y B b) Coincidan A y C c) Encontremos B o C d) Encontremos A o C e) Encontremos A, B o C FAMILIA A FAMILIA B FAMILIA C

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO9 Resolución Aunque no nos lo hubiera indicado el enunciado, hay zonas comunes, pues en total no pueden ocupar el =125% de la vivienda. a) Coincidan A y B P(A∩B)=P(A).PB)= 0,55.0,40=0,22 b) Coincidan A y C P(A∩C)=P(A).P(C)= 0,55.0,30=0,165 c) Encontremos B o C P(BUC)=P(B)+P(C) - P(B).P(C)= 0,40+0,30 – 0,40.0,30 =0,58 d) Encontremos A o C P(AUC)=P(A)+P(C) - P(A).P(C)= 0,55+0,30 – 0,55.0,30 =0,685 e) Encontremos A, B o C P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C) - P(A).P(B) - P(B).P(C) – P(A).P( C) + + P(A).P(B).P(C) = = 0,55+0,4+0,30 – 0,22 – 0,12 – 0, ,55.0,4.0,30 = 0,811

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO10 Son muy usadas en problemas donde se precisa organizar los datos para calcular probabilidades. En general los sucesos a trabajar son incompatibles entre sí, aunque estén relacionados. Ejemplo_1 En la presente tabla de contingencia, hallar la probabilidad de que elegido un alumno al azar, este sea: a)Chico. b)Chica. c)Chico en ESO d)Chica en ESO e)Chico en Bachillerato d)Chica en Bachillerato. d)Alumno en ESO e)Alumno en Bachillerato Tablas de contingencia Chico Chica ESO BACH

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO11 Resolución a)Chico. P(A)=195/400=0,4875 b)Chica. P(B)=205/400=0,50125 c)Chico en ESO P(C)=145/400=0,3625 d)Chica en ESO P(D)=130/400=0,325 e)Chico en Bachillerato P(E)=50/400=0,125 f)Chica en Bachillerato. P(F)=74/400=0,185 g)Alumno en ESO P(G)=275/400=0,6875 h)Alumno en Bachillerato P(H)=125/400=0,3125 Chico Chica ESO BACH

@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO12 Ejemplo_2 En la presente tabla de contingencia sobre la dedicación preferente del tiempo libre de los alumnos de un instituto, hallar la probabilidad de que: a)Sea chico y se dedique al deporte. b)Sea chica y se dedique a la lectura o los juegos. c)Se dedique a ver Cine/TV d)Se dedique a la música. Resolución P(A)= 60/400 = 0,15 P(B)=45/ /400 = =55/400 = 0,1375 P(C)= 60/400=0,15 P(D)=175/400 =0,4375 Chico Chica Música Deporte Lectura Juegos Cine/TV