@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 SISTEMAS DE ECUACIONES Tema 6 * 3º ESO.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 SISTEMAS DE ECUACIONES Tema 6 * 3º ESO

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO2 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS Tema 6.1 * 3º ESO

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Decimos que una ecuación es lineal ( o de primer grado ) cuando el exponente de todas las incógnitas es la unidad. Expresión general de una ecuación de primer grado con dos incógnitas: a.x + b.y = c Donde a es el coeficiente de x, b es el coeficiente de y, y c es el término independiente. Las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas son pares de números que verifican la ecuación. Ejemplos: x – 5 = ySoluciones: (x, y) = (7, 2), (10, 5), (– 2, – 7), etc x + 3 = 2.ySoluciones: (x, y) = (3, 3), (7, 5), (– 3, 0), etc x = y / 3Soluciones: (x, y) = (1, 3), (3, 9), (– 5, – 15), etc

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO4 Situación 1 Entre Ana y Juan han comprado 10 bolígrafos en una librería. ¿Cuántos bolígrafos ha comprado cada uno?. Sea x los bolígrafos que ha comprado Ana (x>0). Sea y los bolígrafos que ha comprado Juan (y>0). Podemos poner la ecuación: x + y = 10 Solución 1:x=1, y=9 Solución 2:x=2, y=8 Solución 3:x=3, y=7 ….. Solución 9:x=9, y=1 Como se ve las soluciones son pares de valores (x,y). En este caso sólo hay 9 soluciones al ser x e y números naturales.

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO5 Situación 2 Entre Ana y Juan han comprado 100 caramelos. Ana los ha comprado de dos en dos y Juan de tres en tres. ¿Cuántos caramelos ha comprado cada uno?. Sea x las veces que Ana ha comprado caramelos (x>0). Sea y las veces que Juan ha comprado caramelos (y>0). Podemos poner la ecuación: 2.x + 3.y = 100 Despejamos una incógnita, la x por ejemplo: x = (100 – 3.y) / 2 Como x tiene que ser un número entero, (100 – 3.y) tiene que ser un número par, múltiplo de 2, y por tanto 3.y debe ser par: Soluciones3.y = 6,3.y = 12,3.y = 18,3.y = 24,etc. 2.x = 94,2.x = 88,2.x = 82,2.x = 76,etc En este caso hay muchas soluciones.

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO6 Situación 3 Entre Ana y Juan se quieren repartir una tarta de chocolate. ¿Qué porción de tarta corresponderá a cada uno?. Sea x la porción de tarta que coge Ana (x>0). Sea y la porción de tarta que coge Juan (x>0). Podemos poner la ecuación: x + y = 1 Despejamos una incógnita, la x por ejemplo: y = 1 – x Solucionesx = 1/2, x = 1/3, x = 1/4, x = 3/7, x = 21/52, etc. y = 1/2, x = 2/3, x = 3/4, x = 4/7, x = 31/52, etc. Vemos que hay infinitas soluciones, infinitas maneras de repartir una tarta entre dos personas.

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO7 SISTEMAS DE ECUACIONES Sistema de ecuaciones es el conjunto de dos o más ecuaciones. Decimos que una ecuación es lineal ( o de primer grado ) cuando el exponente de todas las incógnitas es la unidad. Un sistema de ecuaciones lineales es aquel en que todas sus ecuaciones son lineales. Ejemplos: x = 3 x = – 5 2.y = 5x – 2 = – y x – 5 = yx – 4.y = 3.x – 5.(y – 3) 2.x – 3.y = 1(x / 3) – 2 = x – y 2.x + y = (x – 2.y) / 3x – y / 2 = 2.x + 7.y 3.x – 2.y = 0x / 4 + 3 = y / 7 - 5

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 Resolver un sistema es hallar los valores de las incógnitas que cumplen con todas y cada una de las ecuaciones. Sea el sistema x + y = 2(1) x – y = 0(2) Las soluciones de la ecuación (2) son todos los valores de x e y donde x = y. Hay infinitas soluciones para la ecuación (2). Pero se debe cumplir también que su suma valga 2, para que se cumpla la ecuación (1) Como se puede apreciar por su sencillez la única solución posible es: x = 1 e y = 1 El par de valores (1,1), pues son los valores de las incógnitas que hacen posible que se cumplan las dos ecuaciones que forman el sistema. SOLUCIÓN DE UN SISTEMA

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO9 Ejercicios propuestos: Comprobar si el par (3, – 1), [ x = 3, y = – 1], es solución de los siguientes sistemas: 1.x + y = 2 x – y = 0 2.x + 2y = 0 2x – y = 7 3.x + 3y = 6 3x – 2y = 7 4.2x – 5y = 11 x – y = 4 5.x – 4 = y 6 – 3y = 3x

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO10 Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución se llama COMPATIBLE. Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene ninguna solución es INCOMPATIBLE. SISTEMAS COMPATIBLES Si un sistema compatible tiene una única solución el sistema es DETERMINADO. Si un sistema compatible tiene infinitas soluciones es INDETERMINADO. Ejemplos Sistema Incompatible x + y = 2 Sistema Compatible x – y = 0 x + y = 0 e Indeterminado: 3.x = 3.y Sistema Compatible x + y = 2 Sistema Compatible x – y = 0 y Determinado: x – y = 0 e Indeterminado: 3.x = 3.y TIPOS DE SISTEMAS