Los números reales R Q Z N

Números naturales, números enteros y números racionales Conjunto de los números naturales: N = {0, 1, 2, 3, 4, ........} Al considerar para cada a  N un nuevo número, – a, al que llamamos opuesto de a, ampliamos N a Z. Esto equivale a exigir que la ecuación x + a = b, con a, b  N tenga siempre solución. Conjunto de los números enteros: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ........} Al exigir que la ecuación q . x = s, con q, s  Z tenga siempre solución, ampliamos el conjunto de los números enteros a los números racionales. Conjunto de los números racionales: Q = {a/b : a, b  Z, b  0}

Números decimales y expresión decimal La expresión decimal de un número racional o es finita o es periódica Cualquier número cuya expresión decimal sea finita o periódica es una número racional Parte entera Anteperíodo q = 2‚ 4 78 78 78 78 ……. Período: cuarto bloque. Un número decimal periódico: Período: primer bloque.

Expresión fraccionaria de los números decimales Para convertir el número q = 2‚ 4787878……. en fraccionario Pasos: Primero. 1000q = 2478,787878…. Segundo. 10q = 24,78787878.… Tercero. 990q = 2478 – 24 Cuarto.

Densidad de los números racionales Entre dos números racionales existen infinitos números racionales (qo + q3)/2 qo (qo + q2)/2 (qo + q1)/2 q1 = q3 = q2 = q4 Aunque qo y q1 estén muy próximos este procedimiento se puede seguir indefinidamente. Por ello se dice que los números racionales son densos Los números decimales que no son racionales se llaman irracionales: son números decimales que no se pueden expresar en forma de fracción

El número no es racional Imposible 2 divide a a 2b2 = a2 a = 2k 2b2 = 4k2 b2 =2k2 2 divide a b

Los números irracionales Los números irracionales tienen una expresión decimal no periódica e infinita Los números irracionales junto a los racionales forman los números reales: se escribe R = Q  I Ejemplos El número p con 1000 cifras decimales 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642. Un número decimal de expresión no periódica. 2,020020002000020000020000002000000020000000020000000002…...

Representación de números reales: enteros 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. –3 1 4

Representación de números reales: racionales 1 u. O 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5

Representación de números reales 1 u. 1 u. 1 u. O Fijados un origen y una unidad de medida sobre la recta, dar un número real equivale a señalar un punto en la recta

Sucesivas ampliaciones de los números –1 R 1 2 1/2 –2 2 Q 1 2 –1 –2 1/2 1 2 Z –1 –2 N 1 2

Intervalos abiertos y cerrados Intervalo abierto: (a, b) = {r  R / a < x < b} a b Los extremos no pertenecen al conjunto Intervalo cerrado: [a, b] = {r  R / a  x  b} a b Los extremos sí pertenecen al conjunto

Intervalos semiabiertos (o semicerrados) Intervalo abierto por la derecha: [a, b) = {r  R / a  x < b} a b El extremo izquierdo pertenece al conjunto; el derecho no. Intervalo abierto por la izquierda: (a, b] = {r  R / a < x  b} a b El extremo izquierdo no pertenece al conjunto: el derecho sí.

Valor absoluto A a B b Propiedades del valor absoluto | a |  0 | a .b | = | a | . | b | | a + b |  | a | + | b | Significado geométrico del valor absoluto de la diferencia de dos números A a B b O Longitud del segmento AB =distancia entre los puntos A y B = |b – a| = |a – b|

Potencias de exponente natural. Raíces Dado un entero n > 0, se llama a elevado a la n-ésima potencia al producto de a consigo mismo n veces. potencia o exponente an = a . a . ..... . a n factores base radical radicando

n: índice del radicando Número de raíces a > 0: dos raíces par a < 0: sin raíces n: índice del radicando cualquiera que sea a, hay exactamente una raíz impar

Exponentes enteros y fraccionarios Se mantienen las propiedades de las potencias Producto de potencias de la misma base am . an = am+n Cociente de potencias de la misma base am / an = am-n Potencia de potencia (am)n = am.n Producto de potencias del mismo exponente am . bm = (a.b)m Cociente de potencias del mismo exponente am / bm = (a / b)m

Potencias de exponente fraccionario Las propiedades de las raíces son un caso particular de las propiedades de las potencias

Redondeo Cuando se toma la aproximación más cercana a un número irracional, con un número decimal, se dice que se ha redondeado Para redondear 2 + p a tres cifras decimales 1. Se escriben la parte entera y las dos primeras cifras decimales 2 + p = 5,14...... 2. Antes de escribir la tercera cifra decimal del redondea, se mira la cuarta cifra decimal 2 + p = 5,1415... 3. Si la cuarta cifra decimal es menor o igual que 4, se toma como tercera cifra decimal la actual Si la cuarta cifra decimal es mayor o igual que 5, se toma como tercera cifra decimal la actual más uno 2 + p = 5,142 con tres cifras decimales

Aproximaciones y errores. Notación científica Se llama error absoluto al valor absoluto de la diferencia entre el valor real x de un número y su valor estimado x. Se designa por D = | x - x | Casi nunca se conoce exactamente el error: sólo se debe aspirar a acotarlo ^ Se escribe x = x  D ^ De aquí se puede deducir que el error absoluto de una suma o diferencia es menor o igual que la suma de los errores absolutos de los términos El error relativo es d = D / | x | No se puede conocer su valor: como antes sólo se debe aspirar a acotarlo Se suele expresar en % Notación científica Todo número decimal se puede expresar en la forma a . 10 k, donde –10 < a < 10 y k  Z. k es el orden de magnitud del número Las cifras de a se llaman cifras significativas El número de cifras significativas con que se expresa un número indican el grado de precisión con que se conoce, es decir, el error absoluto que se puede cometer