Funciones Crecientes Valores extremos de Funciones Teorema de Rolle El Teorema de Rolle Funciones Crecientes Valores extremos de Funciones Teorema de Rolle Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

Funciones crecientes (1) Suponemos que la función f es creciente y derivable en todo su dominio. Entonces .Por tanto podemos afirmar Esto es debido a que f es creciente. La derivabilidad implica que el límite existe. Teorema Supongamos que la función f es derivable en el punto x0, y que f’(x0) > 0. Entonces existe un número positivo  tal que f(x) > f(x0) para x0 < x < x0 + , y f(x) < f(x0) para x0 –  < x < x0. Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

Funciones crecientes (2) Supongamos que la función f es derivable en el punto x0 y que f’(x0) > 0. Entonces existe un número positivo  tal que f(x) > f(x0) para x0 < x < x0 + , y f(x) < f(x0) para x0 –  < x < x0. Teorema Demostración Por lo tanto, Esto implica que si x – x0 es positivo, entonces también f(x) – f(x0) es positivo demostrando la primera afirmación. La segunda afirmación se puede comprobar del mismo modo. Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

Teoremas del valor medio Teorema de Rolle Extremos locales Definición Un punto x1 del intervalo abierto (a,b) es un máximo local de la función f si, para valores de x cercanos al punto x1, f(x)  f(x1 ). Un punto x2 del intervalo abierto (a,b) es un mínimo local de la función f si, para valores de x cercanos al punto x2 , f(x)  f(x2 ). a b f x1 x2 Un extremo local de una función es un máximo local o a un mínimo local. Los valores de la función en sus puntos extremos se llaman valores extremos. En la figura de la derecha, el punto x1 es un máximo local y el punto x2 un mínimo local de la función f. Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

Criterio para Extremos Locales Sea f una función que es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si c  (a,b) es un extremo local de la función f, entonces la derivada de f se anula en el punto c, es decir f’(c)=0. Teorema Demostración Supongamos que c  (a,b) es un máximo local o un mínimo local de la función f. Si f’(c) > 0, entonces, por el Teorema anterior, cerca del número c y a la derecha de c, la función f toma valores mayores que f(c). A la izquierda del número c la función toma valores menores que f(c). Por lo tanto c no puede ser un extremo local. Del mismo modo, podemos ver que f’(c) no puede ser negativa. Concluimos que f’(c) = 0. Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

Extremos de Funciones Continuas Teorema Una función f que es continua en el intervalo cerrado [a,b] alcanza su máximo y su mínimo en [a,b]. No vamos a demostrar el resultado aquí. Mediante razonamientos geométricos, el resultado parece convincente y una demostración rigurosa usa argumentos afines a aquellos usados en la demostración del Teorema de los Valores Intermedios para Funciones Continuas. Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

Para hallar los extremos Sea f una función que es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Para hallar los extremos de f en el intervalo [a,b], ten en cuenta los siguientes pasos: Calcula la derivada de la función f. Encuentra las raíces de la derivada en el intervalo (a,b). Calcula los valores de f en los puntos que son las raíces de la derivada y en los extremos a y b del intervalo. Dentro de estos valores calculados, elige el mayor y el menor. Ésos son los extremos ABSOLUTOS de la función f. Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

Teoremas del valor medio Teorema de Rolle Sea f una función tal que: f es continua en el intervalo cerrado [a,b], f es derivable en el intervalo abierto (a,b), y f(a)=f(b). Entonces existe un punto c(a,b) tal que la derivada de f se anula, es decir, f’(c) = 0. Teorema Teorema de Rolle gráficamente El Teorema de Rolle afirma que, si f(a) = f(b), entonces existe un punto c entre a y b tal que la tangente a la gráfica de f en (c,f(c)) es horizontal. a c b Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

Teoremas del valor medio Teorema de Rolle Sea f una función tal que: f es continua en el intervalo cerrado [a,b], f es derivable en el intervalo abierto (a,b), y f(a)=f(b). Entonces existe un punto c(a,b) tal que la derivada de f se anula, es decir, f’(c) = 0. Demostración Si f(x)=f(a)=f(b) para todo x entre a y b, entonces f es una función constante, y la derivada de f se anula para todo x, y c puede ser cualquier punto entre a y b. Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

Teoremas del valor medio Teorema de Rolle Supongamos que f es continua en [a,b] y derivable en (a,b), con f(a)=f(b). Entonces existe un punto c(a,b) tal que f’(c) = 0. Demostración (cont.) Si f no es una función constante, entonces o su máximo en [a,b] es mayor que f(a) o su mínimo es menor que f(a). Suponemos que el máximo de f [a,b] es mayor que f(a). Entonces, como f(b) = f(a), f alcanza su máximo en el punto c (a,b). Por el Criterio para Extremos Locales , concluimos que f’(c) = 0. Si el máximo de f en [a,b] no es mayor que f(a), entonces su mínimo es menor. Y se puede aplicar el Criterio para Extremos Locales al mínimo de f para concluir la existencia de c. Teoremas del valor medio Teorema de Rolle

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä