Funciones/Funciones Elementales/Polinomios. Grado y Término de Mayor Exponente División de Polinomios Raíces de Polinomios Gráficas de Polinomios Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.

Funciones/Funciones Elementales/Polinomios. Un polinomio es una expresión del tipo: P = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn, donde los coeficientes a0, a1,…, an son números reales y an ≠ 0. Definición El polinomio P es de grado n. El término anxn es el término de mayor exponente del polinomio P. Ejemplo P = 3x3 + 2x2 − 11x − 8 y Q = x2 − 4 son polinomios de grado 3 y 2 respectivamente. El término de mayor exponente de P es 3x3 y el de Q es x2. A veces se puede factorizar un polinomio, es decir, puede expresarse como producto de polinomios de menor grado. Por ejemplo el polinomio x2 − 4 = (x − 2)(x + 2). Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.

División de Polinomios Dados dos polinomios P and Q si el grado del polinomio Q no es mayor que el de P, entonces es posible dividir P por Q. Una forma de escribir la división P/Q es: P/Q = D + R/Q siendo D y R polinomios tal que el grado de R sea menor que el de Q. El polinomio R se llama resto. Ejemplo Si P = 3x3 + 2x2 − 11x − 8 y Q = x2 − 4. Entonces Esta forma de escribir P/Q se puede obtener a través del algoritmo de división de polinomios, que se explicará en la siguiente diapositiva. Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.

Algoritmo de División de Polinomios Ejemplo Sea P = 3x3 + 2x2 − 11x − 8 y Q = x2 − 4. Calcular el cociente D y el resto R siendo el grado de R < 2 y P/Q = D + R/Q. 3x 3x3 − 12x + 2 2x2 − 8 Solución x2 − 4 3x3 + 2x2 − 11x − 8 Escribe los polinomios P y Q en la forma larga de división. (3x)Q Multiplica Q por 3x. Entonces el término de mayor exponente de (3x)  Q es el mismo que el de P. Escribe 3x en la línea de arriba. 2x2 + x − 8 2Q x Resta (3x)  Q a P, y repite la misma operación mientras sea posible. En este caso sólo puede ser una vez. El resto es lo que queda en la última línea. El cociente es lo que queda encima de la primera línea. Tenemos Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.

Funciones/Funciones Elementales/Polinomios. Raíces de Polinomios Definición Sea P un polinomio. Un número r tal que P(r)=0 se llama raíz del polinomio P. Teorema Un polinomio de grado n tiene como mucho n raíces. Un polinomio de grado impar siempre tiene una raíz. Una prueba de este teorema será mostrada más adelante. Si r es una raíz del polinomio P, entonces el polinomio P es divisible por x – r, es decir, puede escribirse de la forma P = (x – r)Q, donde Q es un polinomio. Ejemplo Claramente x =1 es raíz de P = x5 – x4 + 2x2 – x – 1. Por lo tanto P es divisible por x – 1. La división de polinomios da P = x5 – x4 + 2x2 – x – 1 = (x – 1)(x4 + 2x +1). El número x = – 1 es raíz de x4 + 2x +1. Dividiendo x4 + 2x +1 por x – (-1) = x + 1 obtenemos la factorización. P = x5 – x4 + 2x2 – x – 1 = (x – 1)(x + 1)(x3 – x2 + x +1). Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.

Gráficas de Polinomios de grado uno (lineales) Las gráficas de polinomios de grado uno y = ax + b son rectas. El coeficiente “a” determina su ángulo de intersección con el eje x. Gráficas de polinomios de grado uno: 1. y = 2x+1 (la recta roja) 2. y = -3x+2 (la recta negra) 3. y = -3x + 3 (la recta azul) Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.

Gráficas de Polinomios Cuadráticos La gráfica del polinomio cuadrático P = ax2 + bx + c, a ≠ 0, es una parábola. Si a>0, la parábola se abre hacia arriba. Si a<0, hacia abajo. Escribiendo P = ax2 + bx + c vemos que en el punto , la parábola P tiene su vértice El vértice es un mínimo si a > 0 y un máximo si a < 0. Una parábola es un conjunto de puntos que están a la misma distancia de un punto dado, llamado el foco de la parábola, y de una recta dada, llamada la directriz de la parábola. –x2 + x + 2 x2 + x – 1 Las directrices de las dos parábolas de la figura son rectas horizontales. Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.

Gráficas de Polinomios de Grado más Alto El comportamiento del polinomio P(x)= a0 + a1x + a2x2 +…+ anxn, an ≠ 0, para valores grandes positivos o negativos viene determinado por el coeficiente an del término de mayor exponente anxn y si es par o impar. Si n es par, y an > 0, P(x)  ∞ cuando x  ∞. Si n es impar, y an > 0, P(x)  ∞ cuando x  ∞, y P(x)  −∞ cuando x − ∞. Problema La imagen de la derecha muestra la gráfica y todas las raíces de un polinomio de cuarto grado y otro de quinto.¿Cuál es cuál? Solución La curva azul tiene que ser el polinomio de grado 4, por su comportamiento cuando x es un número “muy grande” en valor absoluto. Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.

Funciones/Funciones Elementales/Polinomios. Resumen Un polinomio de grado n genérico es P(x) = a0 + a1x + … + anxn, donde los coeficientes a0, a1,…, an son números reales an ≠ 0. Un número r es una raíz del polinomio P si P(r) = 0. Cualquier polinomio de grado n tiene como mucho n raíces. Un polinomio no tiene por qué tener raíces: P(x) = x2 + 1 es siempre positivo, por lo tanto el polinomio P no tiene raíces (reales). Todos los polinomios de grado impar tienen siempre al menos una raíz (real). Si P y Q son polinomios, y si grado(Q) ≤ grado(P), entonces podemos llevar a cabo la división de polinomios y encontrar los polinomios D y R tal que grado(R) < grado(P) y Las gráficas de polinomios lineales, e.j. de polinomios de grado 1, son rectas. Las gráficas de polinomios cuadráticos son parábolas. Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.

Cálculo en una variable Traducción al español: Félix Alonso Gerardo Rodríguez Agustín de la Villa Autor: Mika Seppälä