FACTORIZACION.

Presentación del tema: "FACTORIZACION."— Transcripción de la presentación:

1 FACTORIZACION

2 Factorización Factorizar una expresión algebraica (suma de términos algebraicos), consiste en escribirla en forma de multiplicación

3 Métodos de factorización
Factor común Por agrupación Diferencia de cuadrados Trinomio de la forma Trinomio cuadrado perfecto Completar trinomio cuadrado perfecto x2 + bx + c ax2 + bx + c Diferencia de cubos División sintética

4 Factor Común Todos los términos presentan un monomio factor común, que puede ser una literal, o bien un coeficiente. Para factorizar este tipo de expresiones algebraicas se utiliza el siguiente procedimiento:

5 Ejemplo 1 Factorizar: 1. En la expresión algebraica que se quiere factorizar encontramos que los coeficientes de los tres términos son 8, 32 y 24, su mínimo común denominador es : 32 2 16 8 4 1 32 = 25 8 2 4 1 8 = 23 24 2 12 6 3 1 24 = 3 x 23 El factor que aparece en los tres coeficientes es el 2, y su potencia mínima es 3, por lo tanto máximo factor común es 23 = 8

6 2. La literal que aparece en los tres términos es la letra “a” y la de menor potencia es “a”, por lo que esta será la literal factor común. 3. Podemos concluir que el monomio factor común es 8a 4. Dividir cada término entre 8a y después aplicar la ley distributiva:

7 El término factorizado queda de la siguiente
manera Ejemplo 2 Factorizar:

8 En la expresión algebraica los coeficientes de los tres términos son 16, 24 y 40, su mínimo común denominador es 16 2 8 4 1 8 = 24 16 2 8 4 1 8 = 24 40 2 20 10 5 1 40 = 5 x 23 El factor que aparece en los tres coeficientes es el 2, y su potencia mínima es 3, por lo tanto máximo factor común es 23 = 8

9 2. La literal que aparece en los tres términos es la letra “x” y “y”, la de menor potencia de “x” es “x3”, y la de menor potencia de “y” es “y2”, por lo que esta será la literal factor común. 3. Se puede concluir que el monomio factor común es 8x3y2.

10 4. Dividir cada término entre 8a y después aplicaremos la ley distributiva:
5. El término factorizado queda de la siguiente manera

11 FACTORIZACIÓN POR AGRUPACION
Cuando un polinomio consta de cuatro términos, y no tienen un mismo factor en común, en pueden factorizarse reescribiéndolos dicha como dos binomios y agrupando adecuadamente los términos, para explicar este método se utilizarán los siguientes ejemplos:

12 Ejemplo 1: Factorizar Se observa que los dos primeros términos tienen en común a la literal “x” y los dos último términos a la literal “y”, vamos a agrupar estos términos de la siguiente forma:

13 2. Factorizar cada uno de los términos:
3. Se puede observar que estos dos términos tienen ahora un factor en común que es (a + b), entonces finalmente se vuelve a factorizar:

14 Ejemplo 2: Factorizar Los dos primeros términos tienen en común a la literal “m” y al coeficiente 3, mientras que los dos últimos términos tienen como factor al coeficiente 4, vamos a agrupar estos términos de la siguiente forma:

15 2. Factorizar cada uno de los términos:
Se puede observar que estos dos términos tienen ahora un factor en común que es (m – 2n), entonces finalmente volvemos a factorizar:

16 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADARADOS
Para factorizar una diferencia de cuadrados se utiliza la siguiente fórmula:

17 Ejemplo 1: Factorizar

18 Ejemplo 2: Factorizar

19 Ejemplo 3: Factorizar

20 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Un trinomio cuadrático es perfecto cuando es el producto del binomio al cuadrado, así el trinomio a2 + 2ab +b2 es cuadrado perfecto porque resulta de elevar (a + b)2

21 Cuando se requiere factorizar un trinomio cuadrado perfecto, es recomendable, verificar si lo es, este trinomio debe cumplir con dos características: Las literales del primero y tercer término deben tener raíz cuadrada exacta El segundo término debe ser igual a:

22 Igual al segundo término, si es trinomio cuadrado perfecto
Ejemplo 1: Factorizar 1. Verificar si es un trinomio cuadrado perfecto Igual al segundo término, si es trinomio cuadrado perfecto

23 2. Factorizar mismo signo

24 Igual al segundo término, si es trinomio cuadrado perfecto
Ejemplo 2: Factorizar 1. Verificar si es trinomio cuadrado perfecto Igual al segundo término, si es trinomio cuadrado perfecto

25 2. Factorizar mismo signo

26 FACTORIZACIÓN COMPLETANTO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
En algunas ocasiones el trinomio no está completo, puede faltar el segundo o tercer término o bien no están completas, en estos casos se puede completar el trinomio de la siguiente forma:

27 Caso No.1: Se tiene una suma de cuadrados, falta el segundo término
Determinar cuál sería el segundo término y sumarlo y restarlo a la expresión para que no se altere, para ello utilizaremos la siguiente fórmula 2. La expresión resultante es una diferencia de cubo que se puede factorizar fácilmente.

28 Ejemplo 1: Completar el trinomio cuadrado perfecto y factorizar la siguiente expresión algebraica:
1. Calcular del segundo término

29 2. Sumar y restar el segundo término

30 3. Agrupar términos 4. Factorizar el trinomio

31 5. Factorizar la diferencia de cuadrados
6. Finalmente la expresión algebraica queda de la siguiente forma:

32 Caso No.2: Si se tiene el primero y segundo término o el trinomio no es perfecto
En este caso se debe calcular el tercer término mediante la siguiente fórmula: El procedimiento se explica con el siguiente ejemplo:

33 Ejemplo 1: Completar el siguiente trinomio para que sea perfecto y factorizar
1. Si es trinomio cuadrado perfecto el segundo término será igual a

34 2. Calcular el tercer término
No es igual ya que el segundo término es 6ab, por lo tanto no es trinomio cuadrado perfecto 2. Calcular el tercer término

35 3. Sumar y restar el tercer término
4. Agrupar los dos primeros términos 5. Factorizar el trinomio

36 6. Factorizar la diferencia de cuadrados
7. La expresión algebraica factorizada queda:

37 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
Para que un trinomio sea de la forma x2 + bx + c se debe cumplir con las siguientes condiciones: a) El coeficiente del primer término debe ser 1 y la literal(es) debe(n) tener raíz cuadrada exacta b) El segundo término tiene la misma literal que el segundo y tercero pero su exponente es la mitad de éstos.

38 c) El tercer término puede tener cualquier coeficiente, pero su literal(es), si la tiene(n) debe(n) tener raíz cuadrada exacta. Para factorizar este tipo de expresiones se utilizará el siguiente ejemplo para explicar el método:

39 Ejemplo 1: Factorizar Ordenar el trinomio en forma decreciente respecto a una de las literales Abrir dos paréntesis cuyo primer término será la raíz cuadrada del primer término del trinomio

40 3. Descomponer el coeficiente del tercer término en dos factores que sumados de cómo resultado el coeficiente del tercer término y multiplicados el coeficiente del tercer, estos factores se colocan como segundos términos dentro de los paréntesis. Factores del 12 12 x 12 x

41 El trinomio factorizado queda:
12 x = 7 4 x 3 = 12 El trinomio factorizado queda:

42 Ejemplo 2: Factorizar Ordenar el trinomio en forma decreciente
respecto a una de las literales Abrir dos paréntesis cuyo primer término será la raíz cuadrada del primer término del trinomio. Si el tercer término tiene literal, también se le extrae su raíz cuadrada y solo quedará pendiente el coeficiente que la acompañará

43 3. Descomponer el coeficiente del tercer término en dos factores que sumados de cómo resultado el coeficiente del tercer término y multiplicados el coeficiente del tercer, estos factores se colocan como segundos términos dentro de los paréntesis. Los factores de 180 son: 180 x 180 x 180 x

44 180 x 180 x 180 x

45 El trinomio factorizado queda: 180 x 90 2 60 3 45 4 36 5 30 6 20 9
El trinomio factorizado queda: 180 x 12 – 15= – 3 12 x – 15 = – 180

46 FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax2 + bx + c
Para que un trinomio sea de la forma ax2+bx+c debe cumplir con las siguientes condiciones: a) El coeficiente del primer término debe ser diferente a 1 y la literal(es) que lo acompaña(n) debe(n) tener raíz cuadrada exacta b) El segundo término tiene la misma literal que el segundo y tercero pero su exponente es la mitad de éstos

47 c) El tercer término es diferente al primero y segundo, su coeficiente puede ser cualquier número real y su literal(es) debe(n) tener raíz cuadrada exacta Para explicar el método de factorización de este tipo de expresiones se utilizará el siguiente ejemplos: Ejemplo 1: Factorizar 1. Multiplicar el coeficiente del primer término por el del tercero y el resultado se sustituye en lugar del tercer término: 6 x 3 = 18

48 2. Descomponer el trinomio en dos factores cuyo primer término sea el producto del coeficiente del primer término por la raíz cuadrada de su literal. 3. Buscar dos números que multiplicados den el tercer término, es decir 18 y sumados el segundo, 7. 18 x 18 x

49 4. Dividir la expresión entre el coeficiente del primer término del polinomio original, pero descomponiéndolo en dos factores que sean divisibles entre los coeficientes de los paréntesis obtenidos en el paso anterior. 6 x

50 FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUBOS
La suma o diferencia de cubos son dos términos cuyas literales que tienen raíz cúbica exacta, separados por un signo positivo o negativo.

51 Ejemplo 1: Factorizar

52 Ejemplo 2: Factorizar

53 FACTORIZACIÓN POR DIVISIÓN SINTÉTICA
En algunas ocasiones el polinomio que se desea factorizar es de un grado mayor o igual a 3, y no se pueden emplear los ya vistos, sin embargo es posible factorizarlo, empleando la división sintética y una vez que el polinomio ya sea de segundo grado, entonces se pueden utilizar los métodos anteriores. A continuación e explica el procedimiento de la división sintética:

54 Ejemplo 1: Factorizar el polinomio
Se ordena el polinomio en forma decreciente de acuerdo con las potencias de la variable x, sin omitirse los coeficientes cero.

55 2. Posibles raíces del polinomio
q = 1 p = 9 p = 9, los factores de p son ± 1 y ± 3 y ± 9 q = 1, los factores de q son ± 1

56 Por lo tanto las posibles raíces son:
3. Colocar los coeficientes del polinomio con sus respectivos signos en un renglón, incluyendo los que son igual a cero. Dejar un renglón vacio y trazar una línea horizontal 1 – 5 + 3 + 9

57 4. Colocar el valor de “a”, en el extremo derecho de la segunda fila, recordar que este valor(es) son las posibles raíces del polinomio, determinadas el paso 2. Probando el valor 1 – 5 + 3 + 9 + 1

58 5. Bajar el primer coeficiente hasta el tercer renglón y multiplicarlo por el valor de “a”, el resultado se coloca debajo del segundo coeficiente en el renglón vacio y hacer la simplificación algebraica colocando el resultado en la columna del segundo coeficiente, pero debajo de la línea horizontal (tercer renglón), este resultado se vuelve a multiplicar por el término independiente “a” y así sucesivamente hasta el último término. El último coeficiente del tercer renglón es el residuo, para nuestros fines de factorización debe ser cero.

59 1 – 5 + 3 +9 + 1 – 4 – 1 + 8 x 1 x 1 x 1 Residuo Como el residuo no es cero se prueba con otro valor de “a” Probando el valor 1 – 5 + 3 + 9 – 1 + 6 – 9 – 6 Residuo x 1 x 1 x 1

60 El polinomio quedará degradado un grado y este quedará multiplicado por el factor (x–a)
1 – 5 + 3 + 9 – 1 + 6 – 9 – 6 ( x – a ) Con signo contrario Residuo x x Num La factorización queda:

61 6. Ahora el primer factor es un trinomio que se puede factorizar fácilmente con los métodos ya vistos anteriormente Finalmente la factorización completa queda de la siguiente forma: