INTERNATIONAL CONGRESS OF MATHEMATICIANS Madrid 2006 From the Riemann Integral to the Fundamental Theorem of Calculus: an approach with Applet Descartes Autor: Eduardo Tellechea Armenta Departamento de Matemáticas Universidad de Sonora Universidad de Sonora 24/08/06

Objetivo General Objetivo particular Potenciar el uso de la tecnología, particularmente del APPLET DESCARTES, en la enseñanza del concepto de Integral, mediante el diseño de ambientes computacionales interactivos que permitan ir más allá de la graficación tradicional y pasar al campo de la visualización dinámica, donde las representaciones gráficas adquieran nuevos significados. Objetivo particular Presentar un enfoque gráfico para el estudio de la Integral como función del extremo superior, transitando gradualmente desde las sumas de Riemann hasta el Teorema Fundamental del Cálculo. El trazo de la Función Integral y la interacción que se establece entre el estudiante y el software, es aprovechado para extraer, de la representación dinámica, la relación entre la función y su integral.

Un trazador de la función derivada: Reconocimiento visual de expresiones analíticas de las derivadas de algunas funciones Sumas de Riemann Iniciamos nuestro estudio presentando al estudiante un Applet que grafica y calcula Sumas de Riemann. Es posible modificar libremente la función, los extremos del intervalo de integración y el número de subdivisiones de la partición. En todo el trabajo, con el fin de facilitar la comprensión del concepto, se hará uso de las más sencillas funciones integrables que aparecen en el Cálculo.

Sumas de Riemann para funciones Discontinuas Sumas de Riemann para una función continua nunca derivable.

La Integral como función del extremo superior Un trazador de la función derivada: Reconocimiento visual de expresiones analíticas de las derivadas de algunas funciones La Integral como función del extremo superior El objetivo de estas actividades es que el estudiante se familiarice con la integral como una función del extremo superior e interactuando con la computadora, pueda descubrir de manera visual las condiciones bajo las cuales la integral resulta una función continua o derivable, teniendo así un primer acercamiento gráfico al Teorema Fundamental del Cálculo. Organización del trabajo Este trabajo inicia con la gráfica de funciones cuadráticas en términos de parámetros, y = a(x – b)2 + c y la gráfica de la función f(x) = senx, construida a partir del círculo trigonométrico. Posteriormente, utilizando a la derivada como un límite, se construye con Cabri un trazador de la función derivada, que proporciona una forma visual de encontrar expresiones algebraicas de las derivadas de algunas funciones lineales, cuadráticas y cúbicas, identificándolas vía reconocimiento visual de los parámetros. También se utiliza el trazador para encontrar la expresión analítica de la derivada de la función f(x) = senx, de nuevo en base a consideraciones visuales y recursos de la trigonometría. En este último ejemplo, no se supone conocida la gráfica de la función coseno.

La Integral de funciones lineales El objetivo de esta actividad es que el estudiante explore, el comportamiento de la integral de una función lineal y conjeture sobre la relación entre ambas funciones. x F’(x) 1 3 2 4 5 -1 6 -2

La Integral de funciones escalonadas El objetivo de esta actividad es que el estudiante explore, la integral de funciones escalonadas y descubra que su función integral es continua, así como que la pendiente de cada segmento lineal, de la integral, es la altura del escalón

La Integral de funciones seccionalmente lineales El objetivo de esta actividad es que el estudiante explore, en casos sencillos, funciones continuas y discontinuas con el fin de conjeturar sobre el comportamiento de la función integral en cada uno de estos casos.

Un Trazador de la Función Integral Un trazador de la función derivada: Reconocimiento visual de expresiones analíticas de las derivadas de algunas funciones Un Trazador de la Función Integral En la gráfica se muestra la construcción de un trazador de la función Integral. A medida que la función escalonada se aproxima a la función, la correspondiente integral de la función escalonada, se aproxima a la Integral de la función f.

Observe que cuando N es muy grande, la integral de la función escalonada es aproximadamente igual a la FUNCIÓN INTEGRAL de f.

La Función Integral de funciones discontinuas Construcción de la Integral de una función con discontinuidades de salto Construcción de la Integral de una función con discontinuidad removible

La Función Integral de una función continua en R y diferenciable en ninguna parte .

Construcción gráfica de la RECTA TANGENTE a la función Integral Visualmente podemos considerar a esta recta como la tangente a la gráfica de la Integral, si N toma un valor muy grande. En la figura N=100

“Demostración” Visual del Teorema Fundamental del Cálculo f(x) x

Visualización de la Regla de Barrow Observe que en general, si g(x) satisface g’(x) = f(x), entonces es decir, obtenemos LA REGLA DE BARROW

Algunas generalizaciones del T.F.C.

f(x) =sgn(x) g(x) = |x| gs(x) = sgn(x)

Un trazador de la función derivada: Reconocimiento visual de expresiones analíticas de las derivadas de algunas funciones Referencias ABREU, J.L. – OLIVERÓ, M. (2003) Applet Descartes (software), Ministerio de Educación Cultura y Deporte de España. PROYECTO DESCARTES, Página web: http://descartes.cnice.mec.es/ TELLECHEA, A.E. (2004), El Applet Descartes en el diseño de actividades interactivas de Matemáticas Notas de curso para profesores. Departamento de Matemáticas de la Universidad de Sonora. BOTSKO M., GROSSER R. (1986) Stronger versions of The Fundamental Theorem of Calculus American Mathematical Monthly, Vol. 93, Issue4, pag 294-296