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1.La geometría del espacio euclidiano 2.Funciones vectoriales 3.Diferenciación 4.Integrales múltiples 5.Integrales de línea 6.Integrales de superficie 7.Los teoremas integrales
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3. Diferenciación 3.2 Límites y continuidad 3.3 Derivadas parciales 3.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales 3.5 La regla de la cadena 3.6 Derivadas direccionales y el gradiente 3.7 La divergencia y el rotacional
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El concepto de “límite” describe el comportamiento de una función cuando su argumento se “acerca” a algún punto o se vuelve extremadamente grande
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En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales
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En todo el dominio, excepto en 5, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales. En 5 son 25 y 11 respectivamente
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En todo el dominio, excepto en 0, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales. En 0 son +∞ y -∞ respectivamente
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De manera intuitiva podemos decir que una función es continua cuando pequeños cambios en la variable independiente generan pequeños cambios en la variable dependiente. De manera imprecisa podemos decir que son aquellas funciones que se “dibujan sin separar el lápiz del papel”
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Esta función es continua
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Es discontinua en x=-2 Es continua en todos los otros puntos del dominio
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La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la posición La inflación: Como cambian los precios con el tiempo El cancer: Cómo crecen los tumores con el tiempo Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos ultracomplejos?
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Las funciones “describen” la evolución de las variables dinámicas de los sistemas
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xf(x) 020 124 22 234 -230 350 -344
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xf(x) 020 124 22 234 -230 350 -344 ¿Cómo cambia la función? Cuando va de 0 a 1 crece en 4 Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece) Cuando va de 1 a 2 crece en 10 Cuando va de -2 a -1 crece en -8 (decrece)
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xf(x) 020 124 22 234 -230 350 -344 ¿Cómo cambia la función? Cuando va de 0 a 2 crece en 14 Cuando va de -2 a 0 crece en -10 (decrece)
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La recta azul es la secante a la curva
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La recta azul es la tangente a la curva
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La pendiente de la tangente nos dice La rapidez con que la función está cambiando en ese punto
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La recta azul es la tangente a la curva
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La derivada es cero, La función “no cambia”
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Una parábola
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http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_derivatives
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1.La geometría del espacio euclidiano 2.Funciones vectoriales 3.Diferenciación 4.Integrales múltiples 5.Integrales de línea 6.Integrales de superficie 7.Los teoremas integrales
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3. Diferenciación 3.2 Límites y continuidad 3.3 Derivadas parciales 3.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales 3.5 La regla de la cadena 3.6 Derivadas direccionales y el gradiente 3.7 La divergencia y el rotacional
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El gradiente es perpendicular a las superficies y curvas de nivel Las superficies y curvas de nivel son en las que el campo escalar no cambia, en las que el campo escalar se mantiene constante, por lo tanto es lógico que el gradiente, que indica la dirección de mayor crecimiento de la función, sea perpendicular a ellas
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El campo escalar está en blanco y negro, representando el negro valores mayores. El gradiente está representado por las flechas azules. El gradiente apunta en la dirección de mayor crecimiento del campo escalar
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1.La geometría del espacio euclidiano 2.Funciones vectoriales 3.Diferenciación 4.Integrales múltiples 5.Integrales de línea 6.Integrales de superficie 7.Los teoremas integrales
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3. Diferenciación 3.2 Límites y continuidad 3.3 Derivadas parciales 3.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales 3.5 La regla de la cadena 3.6 Derivadas direccionales y el gradiente 3.7 La divergencia y el rotacional
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OJO: En inglés se llama “CURL” Equivale a “chinitos”, “rulitos”
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