Profesora: Debárbora Nancy Integrantes: Contreras Marina; Vargas Mónica Curso: 3er año del Profesorado de Matemáticas I. N. T.: Prof. Eduardo A. Fracchia.

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1 Profesora: Debárbora Nancy Integrantes: Contreras Marina; Vargas Mónica Curso: 3er año del Profesorado de Matemáticas I. N. T.: Prof. Eduardo A. Fracchia Grupo: “Querer es Poder” 2012

2 Introducción Se ha estudiado a lo largo de los diferentes ciclos lectivos de primaria y parte de la secundaria cómo hallar el área de las diferentes formas geométricas. Pero ¿qué hacemos cuando se nos pide hallar el área de recintos formados por curvas o rectas?

3 El presente trabajo tiene como objetivo dar a conocer los diferentes métodos que podemos utilizar a la hora de calcular el área que forma la gráfica de una función con respecto al eje x. Cada método está detallado con sus respectivas fórmulas, su aplicación y sus gráficas. Esperamos que el lector se sienta motivado y le encuentre sentido a su aplicación y a la facilidad que estos métodos nos ofrecen a la hora de calcular áreas.

4 Calculando el área por el extremo derecho e izquierdo Dada la función y=-2x+7 continua en el intervalo [1,5]. Graficamos la función y obtenemos:

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6 Debemos tener en cuenta que la recta corta al eje x en el punto 3,5 que es la raíz de la función. Lo que queremos hacer es hallar el área que forma la recta con el eje x. Para esto, tendremos que dividir el intervalo [1,5] en subintervalos, cuya medida viene dada por la fórmula donde a y b pertenecen al intervalo [a,b] en nuestro caso [1,5] y n es la cantidad de subintervalos en que vamos a dividirlo.

7 Reemplazamos tomando n= 4 y nos queda: Graficando por medio de GeoGebra nos queda la gráfica así:

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9 Es decir que tomamos el extremo derecho y vamos formando una serie rectángulos llamados rectángulos de aproximación. Si observamos el gráfico nos queda tres rectángulos por encima del eje x y los últimos dos rectángulos por debajo del eje x,; esto nos indica que deberemos hallar el área por separado, es decir A 1 y A 2.

10 A 1= f(2) + f (3) = 4 es un valor aproximado. Ahora tomamos los extremos de los dos últimos rectángulos y nos queda: A 2 =f(4). + f (5) = -4 tomamos el valor absoluto porque se trata de área. Ahora para hallar el área total tendremos que hacer la diferencia entre las dos área que es lo que hace GeoGebra: A T = A 1 -A 2 = 4-4= 0

11 Para hallar cada área tendremos que hallar el área de cada rectángulo y luego sumar: Sabemos que el área de un rectángulo es base por la altura, entonces la primera área va a ser la suma de las áreas de los dos primeros rectángulos. Tenemos que la base de cada rectángulo es el = 1 que es la medida de cada subintervalo que hallamos anteriormente; y la altura se halla reemplazando cada subintervalo en la fórmula dada, entonces en forma general la fórmula para hallar el área nos queda:

12 A = b x h = f(x 1 ). + f (x 2 ) Para hallar A 1 Tomando los extremos derechos x i {2,3} reemplazamos en nuestra fórmula: A = b x h = f(x 1 ). + f (x 2 ) Para hallar A 1 Tomando los extremos derechos x i {2,3} reemplazamos en nuestra fórmula:

13 Entonces: A T = A 1 +A 2 = 8+0= 8 En este caso GeoGebra toma el extremo izquierdo al calcular la Suma Superior.

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15 Si analizamos la gráfica vemos que GeoGebra al calcular la Suma Inferior toma los extremos derechos. Ahora vamos a analizar los extremos izquierdos: Para A 1 tenemos {1,2} y para A 2 {3,4} Calculamos: A 1 = f (1).1+ f (2).1= 8 A 2 = f(3).1+ f(4).1= 0

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17 Forma generalizada Nuestra función es y= -2x+7 en el intervalo [a,b] a=1 b=5 Vamos hallando los cuatros rectángulos porque seguimos con n=4; entonces:

18 X 0 X 1 La forma general es: X 2 X n X 3 X 4

19 Aclaración: cuando tenemos a = 0 la fórmula sería: X n Reemplazamos: b-a= 4

20 X 0 = 1 +..0 X 1 = 1 +. 1 X 2 = 1 +..2 La forma general es X i = 1 +. i X 3 = 1 +. 3 X 4 = 1 +. 4

21 Tenemos: Tomamos el extremo derecho X i con la diferencia que aquí aplicamos el límite; tenemos entonces: (x i ).

22 Reemplazamos en nuestra fórmula: Propiedad distributiva

23 Propiedad de sumatoria Reemplazamos i Simplificamos Propiedad distributiva

24 Simplifico Aplicando el límite llegamos al área real.

25 Por el extremo izquierdo sería: x i-1 = xi-1). Reemplazamos en nuestra función: Propiedad distributiva

26 Propiedad distributiva Propiedad de sumatoria y reemplazamos i

27 Simplificamos Se observa que con ambos extremos aplicando el límite llegamos al área real.

28 Punto medio Nuestra fórmula es: A (x i ). Es la semisuma de los extremos Punto medio: x i =

29 De esa manera nos queda la fórmula, luego resolvemos la operación dentro del paréntesis distribuyendo el denominador y nos queda: Esta es la fórmula para hallar el área con el punto medio.

30 Aplicamos a nuestra función: Propiedad distributiva Propiedad distributiva simplificamos

31 Resolvemos Aplicando la regla del punto medio llegamos al mismo valor.

32 REGLA DEL TRAPECIO Seguimos con nuestra función y= - 2x+7 en el intervalo [1 ; 5] con n=4. Vamos a hallar el área por la Regla del Trapecio. Presentamos a continuación la fórmula que nos permite hallar el área aproximada.

33 La regla del trapecio nos dice que a través de esta fórmula se puede hallar el área aproximada. Representaremos en la recta numérica, nuestro intervalo:

34 ....... 0 1 2 3 4 5 Luego reemplazamos en la función y = - 2x+7 por,… que es el valor de cada subintervalo: Vamos a hacer el cálculo analítico: f(1) = 5 f(4) = -1 f(2) = 3 f(5) = -3 f(3) = 1

35 Reemplazamos lo obtenido en la fórmula: A A. A A = 4 En GeoGebra hallamos la Suma Trapezoidal y nos queda:

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37 REGLA DE SIMPSON A continuación calcularemos el área con la Regla de Simpson. La fórmula es: Luego reemplazamos en la función y = - 2x+7 por,… que es el valor de cada subintervalo: {1,2,3,4,5}

38 Analíticamente tenemos: f(1) = 5 f(4) = -1 f(2) = 3 f(5) = -3 f(3) = 1 Reemplazamos los valores en la fórmula:

39 Sn= 4 GeoGebra no tiene el método de Simpson para calcular pero lo hacemos por medio de la integral. Nos queda:

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41 Conclusión Todos los métodos presentados se pueden utilizar para hallar el área de la gráfica de una función. De todos estos métodos se observa que los dos primeros, extremos derecho e izquierdo, nos dan el área aproximada solamente, en la forma generalizada si observan, antes de aplicar el límite si reemplazamos n por la cantidad de intervalos tomado ( 4 en nuestro caso), llegamos al mismo resultado de sus extremos correspondientes (eso queda para tarea del lector); al reemplazar por el límite obtenemos el área real.

42 La Regla del punto medio, también nos indica que debemos aplicar el límite para hallar el área real, es decir que en todas las fórmulas que aparece lím nos indica que debemos llevar al límite el cálculo realizado con n tendiendo a infinito. Esto quiere decir que la cantidad de rectángulos aumenta hasta un valor infinito. Y cada vez que aumenta n nos acercamos al valor real del área.

43 Es diferente cuando utilizamos la Regla del Trapecio y la Regla de Simpson, aquí no podemos calcular con el límite porque son métodos de aproximación solamente que pueden llegar a coincidir con el área real como en nuestro caso. Esperamos llenar las expectativas del lector y que la explicación se haya comprendido.