Polinomios de Chebyshev Ing. En comunicación multimedia Métodos numéricos Alumno: Cordero Cabañas Jorge Enrique Grupo:1741
Concepto En matemática, los polinomios de Chebyshev son una familia de polinomios ortogonales que están relacionados con la fórmula de De Moivre.Usualmente se hace una distinción entre polinomios de Chebyshev de primer tipo que son denotados Tn y polinomios de Chebyshev de segundo tipo, denotados Un.
Como consecuencia, todas las raíces de cualquier polinomio de Chebyshev están contenidas en el intervalo [−1, 1]. La justificación del teorema se basa en que la expresión
Que proviene de la formula general del error en la interpolación, se hace mínima cuando xi son las raíces del polinomio de Chebyshev correspondiente. El resultado del teorema permite encontrar una cota del error del polinomio interpolador más pequeña que la establecida con carácter general. Si en lugar del intervalo [−1, 1] tenemos un intervalo [a, b], si aplicamos a los nodos de Chebyshev la transformación afín que lleva el intervalo [−1, 1] en el intervalo [a, b], obtenemos unos nuevos nodos tales que:
Ejemplo: Calcula los cuatro nodos para la interpolación de una función en el intervalo [−1, 1] y en el intervalo [2, 8] haciendo uso de los polinomio de Chebyshev. Establece una cota del error en cada caso para la función f(x) = sin(x). x0 = −0.9239 x1 = −0.3827 x2 = 0.3827 x3 = 0.9239. Estos sería los nodos en el intervalo [−1, 1]. Para calcular los nodos en el intervalo [2, 8] necesitamos una transformación afín αx+β que lleve el intervalo
Resolviendo el sistema formado por las dos ultimas ´ ecuaciones, obtenemos que la transformación es 3x + 5. Aplicamos esta transformación a los nodos de Chebyshev y obtenemos los nuevos nodos en el intervalo [2, 8] : Veamos las cotas de los errores para la función f(x) = sin(x) en cada caso. Para el intervalo [−1, 1] :
bibliografia http://matematicas.unex.es/~pjimenez/CN_principal.pdf http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/especial/chebyshev/chebyshev.html https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomios_de_Chebyshov