Fórmulas Recursivas y Aproximaciones

Presentación del tema: "Fórmulas Recursivas y Aproximaciones"— Transcripción de la presentación:

1 Fórmulas Recursivas y Aproximaciones
Dr. Román Miguel Moreno, Ph.D. CEM

2 Conceptos de los Métodos Numéricos
Los dos conceptos fundamentales de los métodos numéricos son las Fórmulas Recursivas y las Aproximaciones Sucesivas. Fórmulas Recursivas. Una Fórmula Recursiva relaciona términos de una secuencia particular de números, funciones, polinomios, etc. proporcionando un medio para calcular elementos o términos sucesivos, en función de unos calculados previamente.

3 Fórmulas Recursiva Simple
Fórmula Recursiva Simple. Sean los términos de una secuencia denotados por t1, t2, t3, ..., tn. Si el primer término es conocido y si cualquier término sucesivo tk (k = 2, ..., n) puede expresarse en función del término tk-1 y otras cantidades conocidas, entonces la expresión para tk es una FRS.

4 Ejemplo FRS Encontrar la FRS para evaluar la suma S de un conjunto dado de números: a1, a2, a3, ..., an

5 Diagrama de Flujo Inicio Read n, ak (k=1,n) S1=a1 k=2 Sk=Sk-1+ak No
Si Write S Fin

6 Algoritmo Computacional
! Programa para calcular la FRS Sk=sk-1+ak (k=2,n) Program FRS01 integer i,k,n real S,T,x DIMENSION T(10) write(*,*) write(*,10) read(*,*) n 10 FORMAT(' Numero de datos (n) = ',\) DO I=1,n write(*,20) I read(*,*) x T(I)=x END DO 20 FORMAT(' S(',I2,') = ',\) S=T(1) DO k=2,n S=S+T(k) write(*,30) S 30 FORMAT(' S = ',F8.2) read(*,*) END

7 Fórmula Recursiva Múltiple
Fórmula Recursiva Múltiple. Sean los términos de una secuencia denotada por t1, t2, t3, ..., tn. Si los términos iniciales son conocidos y si cada término sucesivo tk puede expresarse en función de los términos precedentes tk-1, tk-2, tk-3, ... y otras cantidades conocidas, entonces la expresión para tk es una FRM.

8 Ejemplo de FRM Encontrar la FRM de la serie de Fibionacci:

9 Ejemplo 1 FR Encontrar la FR de una progresión aritmética. Solución:
Y la fórmula recursiva queda como:

10 Ejemplo 1 FR Suponiendo que queremos generar tk en términos de tk-1 usando una sola fórmula recursiva, entonces, aplicando la ley asociativa de la suma tenemos: Y la fórmula recursiva queda como:

11 Ejemplo 2 FR Encontrar la FR de una progresión geométrica.
Si aplicamos ley asociativa de la multiplicación, tenemos: La solución es:

12 Ejemplo 2 FR Ahora vamos a suponer que deseamos obtener las sumas parciales S0, S1, S2, S3, ..., de la Serie Geométrica donde la suma parcial se puede expresar como De esta forma, obtenemos: Y la fórmula recursiva de las sumas parciales es:

13 Aproximaciones Sucesivas
Uno de los conceptos más importantes en el análisis numérico es las aproximaciones sucesivas. Este concepto debe ser familiar a cualquier estudiante de matemáticas. Esta es la analogía de una variable discreta en el proceso del límite de una variable continua, es la base del cálculo diferencial e integral.

14 Aproximaciones Sucesivas
La derivada de una función continua y = f(x) se define como: mientras que la definición de una integral definida es:

15 Tarea 1 1. Encuentre las fórmulas recursivas, diagramas de flujo y algoritmos computacionales (en FORTRAN) de las siguientes secuencias de números y diga si son simples o múltiples: a) 2, 5, 10, 50, ... b) 1, 3, 3, 27, ... 2. Encuentre las fórmulas recursivas de las siguientes secuencias de polinomios de x y diga si son simples o múltiples: a) x, x2 - 2, x3 - 2x - 3, ... b) a, x2, x4 + 2a, x8 + 4a4 + 2x2 + 4a2, ... 3. Encuentre la fórmula recursiva que permita calcular los polinomios de Chebyshev Tk, dados los siguientes: T0 = 1 T1 = x T2 = 2x2 - 1 T3 = 4x3 - 3x