@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 U. D. 4 * 4º ESO E. AC. ECUACIONES.

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2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 U. D. 4 * 4º ESO E. AC. ECUACIONES

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.2 U. D. 4.7 * 4º ESO E. AC. ECUACIONES EXPONENCIALES

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.3 Ecuaciones exponenciales Una ecuación lineal tiene la forma: m.x+ n = 0 Para resolverla se despeja la incógnita, x. Una ecuación cuadrática tiene la forma: a.x 2 + b.x + c = 0 Para resolverla se aplica generalmente la fórmula. Una ecuación polinómica tiene la forma: a.x n + b.x n – 1 + … + k = 0 Para resolverla se hallan las raíces del polinomio característico. Cuando en una potencia la variable x está en el exponente, entonces la expresión resultante es una ecuación exponencial. Tiene la forma (muy simplificada): a x = k Donde a es la base de la potencia y k un número real. Procederemos a su resolución según los valores de a y de k.

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.4 Propiedad fundamental Si en una ecuación exponencial son iguales las bases, los exponentes también lo son. a x = a y  x = y Ejemplos 2 x = 16  2 x = 2 4  x = 4 3 x - 1 = 9  3 x – 1 = 3 2  x – 1 = 2  x = 3 5 x + 2 = 1  5 x + 2 = 5 0  x + 2 = 0  x = – 2 Restricción La base a de la ecuación deber ser a > 0 y a <> 1 ¿Por qué?. Observar: (– 2) 2 = 4, (– 2) 3 = – 8 Pero ¿qué vale (– 2) 1,5 ?. Al no ser el exponente ni par ni impar, no sabemos el signo del resultado. Podemos hallar el valor de 2 1,5, pero no el de (– 2) 1,5

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.5 Ecuaciones exponenciales Hay tres tipos de ecuaciones exponenciales que se pueden resolver aplicando las propiedades de las potencias ya estudiadas, sin necesidad de aplicar logaritmos: f(x) g(x) 1ºTienen iguales las bases:a = a Resolución: Se igualan los exponentes y se resuelve la nueva ecuación. f(x) g(x) k 2ºLas bases están relacionadas: a = b, donde a = b Resolución: Se sustituye una base y se resuelve la nueva ecuación, que tendrá ahora igualdad de bases. f(x) g(x) h(x) 3ºHay sumas o restas de potencias: a + b + c = 0 Resolución: Se aplican las propiedades de las potencias al objeto de conseguir un factor común de una potencia de igual base y exponente.

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.6 Exponenciales Tipo 1 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. x+3 2x+5 5 = 5 Al ser igual la base:x + 3 = 2x+5  3 – 5 = 2x – x, x = - 2 x – 3 x 2 – 5 3 = 3 Al ser igual la base:x – 3 = x 2 – 5  0 = x 2 – x – 2 Resolviendo la ecuación: 1 +/- V(1 + 8) 1 +/- 3 x = ---------------------- = ------------ = 2 y - 1 2

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.7 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. 2x+3 2x+5 4 = 2 Al ser 4 = 2 2 2(2x+3) 2x+5 4x+6 2x+5 2 = 2  2 = 2 Al ser iguales las bases, deben ser iguales los exponentes: 4x+6 = 2x+5  4x-2x = 5-6  2x = -1  x = -1/2 Exponenciales Tipo 2

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.8 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. 2 x – 3 = 1 / 8 2 x – 3 = 1 / 2 3  2 x – 3 = 2 – 3 x – 3 = – 3 que resolviendo queda: x = 0 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. (3 x ) x – 4 = 1 / 27 3 x2 – 4.x = 1 / 3 3  3 x2 – 4.x = 3 – 3  x 2 – 4.x = – 3 x 2 – 4.x + 3 = 0, que resolviendo queda: x = 1, x = 3 Exponenciales Tipo 2

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.9 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. x 2 - 17.x+30 6 = 1 Como 6 0 = 1, podemos poner: x 2 - 17.x+30 6 = 6 0 Al ser iguales las bases, serán iguales los exponentes: x 2 - 11.x+30 = 0 Resolviendo la ecuación, queda x = 2, x = 15 Exponenciales Tipo 2

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.10 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. 16 x + 16 1 – x – 10 = 0 16 16 x + ------ – 10 = 0 16 x (16 x ) 2 – 10. 16 x + 16 = 0 Veo que es una ecuación de 2º grado cuya incógnita es 16 x Por comodidad la cambio de nombre: 16 x = y  y 2 –10.y+16 = 0 Resolviendo la ecuación, queda y = 2, y = 8 16 x = 2  2 4.x = 2 1  4.x = 1  x = ¼ 16 x = 8  2 4.x = 2 3  4.x = 3  x = ¾ Exponenciales Tipo 2

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.11 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. 2 x – 5.2 – x + 4.2 – 3.x = 0 5 4 2 x – ------ + ------ = 0 2 x 2 3.x (2 x ) 4 – 5. (2 x ) 2 + 4 = 0 Veo que es una ecuación bicuadrada cuya incógnita es 2 x Por comodidad la cambio de nombre: 2 x = y  y 4 – 5.y 2 +4 = 0 Resolviendo la ecuación, queda y = 2, y = – 2, y = 1, y = – 1 2 x = 2  x = 1 2 x = – 2  Imposible, el resultado siempre debe ser positivo. 2 x = 1  2 x = 2 0  x = 0 2 x = – 1  Imposible, el resultado siempre debe ser positivo. Exponenciales Tipo 2

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.12 Exponenciales Tipo 3 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. 5 x + 5 x-1 + 5 x-2 = 31 No se pueden sumar tal como están. Como en el exponente hay una diferencia, significa que proviene de división de potencias de igual base: 5 x 5 x 5 x + --------- + -------- = 31 5 25 25.5 x + 5.5 x + 5 x = 25.31 (25+5+1).5 x = 25.31 31.5 x = 25.31 Luego 5 x = 25  x = 2

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.13 Exponenciales Tipo 3 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. 3 x – 1 + 3 x – 1 + 3 x + 1 = 99 No se pueden sumar tal como están. Como en el exponente hay una diferencia, significa que proviene de división de potencias de igual base: 3 x 3 x ----- + ------- + 3.3 x = 99 3 3 3 x + 3 x + 9.3 x = 3.99 (1+1+9).3 x = 3.11.9 11.3 x = 3.11.9 Luego 3 x = 27  x = 3