RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS MATEMÁTICAS I.

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1 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS MATEMÁTICAS I

2 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
En cualquier triángulo podemos distinguir SEIS elementos: TRES ángulos (A, B y C) y TRES lados (a, b y c) Resolver un triángulo consiste en encontrar los tres elementos desconocidos a partir de tres conocidos. En algunos casos se contempla también el cálculo del área.

3 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS c a B sen C = = cos B a c TEOREMA DE PITÁGORAS: a2 = b2 + c2 b a C A cos C = = sen B b c b tan C = = cot B En el caso de que se diga ‘triángulo rectángulo’, siempre tenemos el dato A = 90º Ejemplos: Resuelve el triángulo rectángulo del que se conocen: I) B = 60º, C= 30º, b = 3 cm II) c = 4 cm y b = 3 cm III) B = 27º, a = 5 cm b a 3 a I) B = 60º, C= 30º, b = 3 cm sen B =  sen 60º = a ≈ 3,46 cm b c 3 c tan B =  tan 60º = c ≈ 1,73 cm

4 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS c a B sen C = = cos B a c TEOREMA DE PITÁGORAS: a2 = b2 + c2 b a C A cos C = = sen B b c b tan C = = cot B b c 3 4 II) c = 4 cm y b = 3 cm tan B =  tan B = = 0,75  B ≈ 36º 52’ c b 4 3 tan C =  tan C = = 1,33…  C ≈ 53º 08’ a2 = b2 + c2  a2 = = = 25  a = 5 cm III) B = 27º, a = 5 cm B + C = 90º  C = 90º – 27º = 63º  C = 63º b a b 5 sen B =  sen 27º =  b = 5·sen 27º  b ≈ 2,27 cm c a b 5 sen C =  sen 63º =  c = 5·sen 63º  c ≈ 4,46 cm

5 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS: APLICACIONES EJEMPLO 1: A una distancia de 20 metros del pie de un poste, se ve a éste bajo un ángulo de 60º. ¿Qué altura tiene el poste? Tenemos un triángulo rectángulo formado por el poste, la línea del suelo horizontal, y la visual hasta la cúspide del poste. Por definición de tangente: tg60º = h/20  h = 20·tg60º = 34,64 m.

6 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS: APLICACIONES
EJEMPLO 2: Hallar la altura de la muralla de la figura, para lo cual se ha tomado medidas de los ángulos indicados: Podemos simplificar la situación en el esquema: De manera que podemos observar dos triángulos rectángulos en los que podemos concretar la definición de las tangentes de los ángulos conocidos: tg60º = h/x y tg45º = h/(x + 40). De esta forma, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (h y x). Como tg45º = 1  h = x  x = h  40. Sustituimos en la otra ecuación: h = x·tg60º = (h  40)tg60º  h = 40·tg60º/(tg60º  1)  96,64 m Si, en lugar de utilizar los datos concretos del problema, utilizamos letras, podemos obtener una fórmula que resuelva de manera genérica este tipo de cálculos de alturas de pie inaccesible. Así, en lugar de 60º, escribiremos , en lugar de 45º, tomaremos , en lugar de 40 m, marcaremos d. El sistema de ecuaciones será ahora: tg = h/x; tg = h/(x+d). Resolviendo el sistema por igualación (despejando en ambas ecuaciones x), se obtiene un valor:

7 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
TRIÁNGULOS CUALESQUIERA Tengamos un triángulo cualquiera. Trazamos una altura h desde C, que divide el lado c en dos segmentos m y n. Aplicamos la definición de seno en cada uno de los dos triángulos rectángulos en que ha quedado dividido el triángulo original: h b [1] sen A = h a [2] sen B = Despejamos h en cada una de estas expresiones e igualamos: [1]  h = b·senA [2]  h = a·senB  b·senA = a·senB Que es equivalente a escribir: Si repetimos el razonamiento considerando cualquiera de las otras alturas, obtendremos el: TEOREMA DEL SENO:

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TRIÁNGULOS CUALESQUIERA Aplicamos el teorema de Pitágoras en cada uno de los dos triángulos rectángulos en que ha quedado dividido el triángulo original: [1] b2 = h2 + m2 [2] a2 = h2 + n2 Despejamos h2 en [1] y sustituimos en [2]: [1]  h2 = b2 – m2 [2]  a2 = b2 – m2 + n2 Por otro lado: c = m + n  n = c – m  n2 = (c – m)2 = c2 + m2 – 2cm Sustituyendo: a2 = b2 – m2 + c2 + m2 – 2cm  a2 = b2 + c2 – 2cm [3] m b En el triángulo AHC: cosA =  m = b·cosA Y sustituyendo en [3]: a2 = b2 + c2 – 2bccosA Si repetimos el razonamiento considerando las otras alturas, obtendremos el: a2 = b2 + c2 – 2bccosA b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC TEOREMA DEL COSENO:

9 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
TRIÁNGULOS CUALESQUIERA Las herramientas de que disponemos para resolver un triángulo cualquiera son: TEOREMA DEL SENO: a2 = b2 + c2 – 2bccosA b2 = a2 + c2 – 2accosB c2 = a2 + b2 – 2abcosC TEOREMA DEL COSENO: La forma en que las utilizaremos dependerá del caso en que nos encontremos dentro de la variada casuística en este tipo de problemas. En cualquier caso, habremos de tener en cuenta siempre que: A + B + C = 180º a < b + c; b < a + c; c < a + b (desigualdad triangular)

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I). SE CONOCEN LOS TRES LADOS. Resolución del triángulo cuyos lados miden: a= 3 cm, b= 6 cm y c = 4 cm. Se verifica la desigualdad triangular: 6 < = 7 Por tanto, el problema tiene solución ÚNICA Para calcular el área del triángulo: Área = ½ c·h =½ c·b·senA = ½ 4·6·sen 26º23’ ≈ 5,33 cm2 4 cm 3 cm Resolución geométrica: 6 cm Resolución trigonométrica (se trata de encontrar los tres ángulos): Calculamos el ángulo opuesto al lado mayor a partir del teorema del coseno: Triángulo obtusángulo. (Aunque ahora podríamos seguir aplicando el teorema del seno, conviene utilizar los valores que nos suministra el enunciado del problema para no hacer crecer el valor de los errores) Volvemos a hacer uso del teorema del coseno: Y por último: C = 180º  (A + B)  36º 20’

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II). SE CONOCEN DOS LADOS Y EL ÁNGULO COMPRENDIDO. Resolución del triángulo: a = 10 cm, c = 4 cm, B = 45º 4 cm 45º Resolución geométrica: 10 cm Por aplicación de (TC): Seguimos con (TC): y C = 180º  (A + B)  21º32’ En cambio, si se utiliza (TS) para calcular A: El primer valor 66º32’ es el suministrado por la calculadora, y no corresponde a la solución correcta. No obstante puede proseguirse con el teorema del seno eligiendo los valores de A y C tales que A + B + C = 180º.

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III). DADOS DOS LADOS Y EL ÁNGULO OPUESTO A UNO DE ELLOS. Resolución geométrica. Suponemos dados a, b y A Dos soluciones B2 c2 a B1 c1 a A C1 C2 b Que el problema tenga solución o no, y el número de ellas, dependerá del tamaño que tenga a. Haciendo centro en el extremo de la derecha de b, y con radio a, trazamos un arco.

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III). DADOS DOS LADOS Y EL ÁNGULO OPUESTO A UNO DE ELLOS. Resolución geométrica. Suponemos dados a, b y A B Solución única c a 90º c’ a’ C A C’ b NO hay solución a A b

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TRIÁNGULOS CUALESQUIERA III). DADOS DOS LADOS Y EL ÁNGULO OPUESTO A UNO DE ELLOS. Resolución del triángulo: a = 8 m, b = 4 m y A = 60º. A partir de (TS): El valor de c se obtiene de: O bien según (TC): Es pues un caso de SOLUCIÓN ÚNICA.

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TRIÁNGULOS CUALESQUIERA III). DADOS DOS LADOS Y EL ÁNGULO OPUESTO A UNO DE ELLOS. Resolución del triángulo: a= 3 m, b = 6 m y A = 30º . A partir de (TS): El valor 1 del senB nos determina de manera precisa que se trata de un triángulo rectángulo y por tanto es aplicable el tª de Pitágoras (TP): SOLUCIÓN ÚNICA.

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TRIÁNGULOS CUALESQUIERA III). DADOS DOS LADOS Y EL ÁNGULO OPUESTO A UNO DE ELLOS. Resolución del triángulo: a= 3 m, b = 4 m y A = 30º . A partir de (TS): Y con los valores correspondientes de los ángulos B y C, se obtendrán por nueva aplicación de (TS), las medidas correspondientes a c1 = 5,7 m y c2 = 1,23 m Resolución del triángulo: a= 3 m, b = 8 m y A = 30º . A partir de (TS): > 1 !! NO HAY SOLUCIÓN. Se ha visto, pues, que el mismo proceso de resolución trigonométrica detecta en que situación de las cuatro posibles nos encontramos. Otra vía alternativa consiste en comenzar aplicando el teorema del coseno (TC) para obtener b mediante una ecuación de segundo grado, pero es menos aconsejable porque exige más cálculos, que con datos aproximados en la mayoría de los casos, complicarían el control del error.

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TRIÁNGULOS CUALESQUIERA IV). DADOS UN LADO Y DOS ÁNGULOS. Puesto que los ángulos de un triángulo han de sumar 180º, si fueran conocidos A y B, se tiene que C = 180º - (A+B), y una vez que se conocen los tres ángulos y uno de los lados, los otros dos lados se obtienen por aplicación directa del teorema del seno. V). DADOS LOS TRES ÁNGULOS. Este es un caso con infinitas soluciones (INDETERMINADO) puesto que todos los triángulos semejantes tienen ángulos iguales.

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TRIÁNGULOS CUALESQUIERA. APLICACIONES. Ejemplo 1. Calcula, al menos de dos formas distintas, el área de un triángulo del que se sabe b = 10 cm, c = 5 cm y A = 30º. En principio, como no se advierte nada, se trata de un triángulo cualquiera ( no tiene por qué ser rectángulo), de manera que podemos tomar como base cualquiera de sus lados, por ejemplo, el lado b. (I) Área = ½ (base  altura). Calculamos previamente la altura: en el triángulo HBA, sen30º = h/5  h = 5·sen30º = 2,5  Área = ½ (10  2,5) = 12,5 cm2. Esta forma conduce a la fórmula genérica: Área = ½ ·b·c·senA (II) Calculamos el lado a mediante el teorema del coseno: a2 = b2 + c2 – 2bccosA = =  100cos30º  38,397 . Por tanto, a  6,20 cm. Y ahora aplicamos la fórmula de Herón: Área = donde p representa el semiperímetro del triángulo: p = ½ (6, ) = 10,6 cm Por tanto: Área =  12,5 cm2.

19 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS TRIÁNGULOS CUALESQUIERA. APLICACIONES.
Ejemplo 2. Un buque navega en dirección NE a 10 millas por hora. Un submarino situado 50 millas al oeste inicia su persecución a 20 nudos. Calcula el rumbo que debe tomar el submarino y el tiempo que tardará en dar alcance al buque. No debe ofuscarnos el hecho de que se mida las distancias en millas. Pero sí hay que tener en cuenta que 1 nudo = 1 milla/hora. Si llamamos t al número de horas transcurrido desde el comienzo de la persecución hasta el alcance, podemos marcar las distancias. A 10·t millas 20·t millas Aplicamos el teorema del seno: 135º S 50 millas 10 millas/h 20 millas/h De donde: ≈ 0,3536  S ≈ 20º 42’ Así pues, ya tenemos el rumbo que ha de tomar el submarino: E 20º 42’ N Para calcular el tiempo, no tenemos más que volver a aplicar el teorema del seno calculando previamente el ángulo que falta del triángulo: A = 180º − (135º + 20º 42’) = 24º 57’ ≈ 4,19 h ≈ 4 horas 11 minutos

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FIN DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS