Límites e continuidade Limites de sucesións

Limite dunha sucesión A idea que hai detrás do concepto de límite é a seguinte: en determinadas situacións, os termos da sucesión tenden a un valor determinado: Valores de n Valores dos termos da sucesión n An 1 10 0,1 1000 0,001 2 0,5 20 0,05 10000 0,0001 3 0,33333333 30 0,03333333 100000 0,00001 4 0,25 40 0,025 1000000 0,000001 5 0,2 50 0,02 10000000 0,0000001 6 0,16666667 60 0,01666667 100000000 0,00000001 7 0,14285714 70 0,01428571 1000000000 0,000000001 8 0,125 80 0,0125 9 0,11111111 90 0,01111111 100 0,01 Exemplo: Vemos claramente que cando n se fai moi grande, os termos da sucesión aproxímanse cada vez máis a cero. Describimos esta situación dicindo que o límite da sucesión é cero e escribimos:

Analogamente, estudando os termos de A definición formal de límite é: Que significa: L é límite dunha sucesión an se podemos achegarnos ao valor de L con termos da sucesión tanto como queiramos . Ou L é o limite dunha sucesión an se podemos facer a diferenza entre algúns termos da sucesión e o valor do límite tan pequena como se queira. n an 1 2 1,33333333 3 1,5 4 1,6 5 1,66666667 10 1,81818182 100 1,98019802 1000 1,998002 10000 1,99980002 1000000 1,999998 vemos que cada vez se achegan máis a dous, e que nunca van pasar de aí: Cando unha sucesión ten límite dicimos que converxe, ou que é unha sucesión converxente O límite é o número ao que se dirixen os termos dunha sucesión sen chegar a acadalo nunca.

SUCESIÓN DIVERXENTE: O  Para a sucesión Diremos que unha sucesión diverxe cando o seu límite non existe porque os valores da sucesión fanse cada vez maiores: n an 1 2 -13 3 -50 4 -123 5 -244 10 -1989 100 -1999899 1000 -1999998999 10000 -2E+12 1000000 -2E+18 A táboa representa os valores de algúns termos da sucesión: n an 1 2 2,66666667 3 4,5 4 6,4 5 8,33333333 10 18,1818182 100 198,019802 1000 1998,002 10000 19998,0002 1000000 1999998 Os valores tenden a números moi grandes pero negativos: Formalmente: Pode comprobarse que se fan cada vez máis grandes sen deterse na proximidade de ningún valor: neste caso escribiremos: Unha sucesión An dise que diverxe cando o seu límite é infinito: cando a sucesión de termos non se detén en ningún valor A sucesión diverxe

LÍMITES DE FUNCIÓNS Límites de funcións

Límites de funcións Para a función f(x) = x2- 4, A principal diferenza entre os límites de sucesións e os límites de funcións é que nas funcións non so estudamos os límites cando x se fai infinito, senón que faremos “estudios locais”: estudaremos a que valores tende a función nun entorno dun punto determinado. Vexamos algúns exemplos do que acontece nos arredores de x=2 para varias funcións. Aproximándonos a 2 desde valores superiores (maiores que 2, que se encontran no eixe á dereita do dous) observamos que os valores da función achéganse paulatinamente cada vez máis a 0, ate facerse infinitamente próximos. Aproximándonos a 2 desde valores inferiores (menores que 2, que se encontran no eixe á esquerda do dous) observamos que os valores da función achéganse paulatinamente cada vez máis a 0, ate facerse infinitamente próximos.

Cando os límites a ambos lados coinciden, dicimos que existe o límite da función, que é igual a ese valor común Defínese o límite dunha función como: A función da gráfica non ten límite: pola dereita vaise a -, e pola dereita o límite é -1. Ao non coincidir os límites laterais non existe límite

Como podemos comprobar se facemos unha táboa de valores: Cando x Tamén se estuda o límite das funcións cando o argumento (a variable dependente) tende a infinito: Cando x→-∞, a función toma valores cada vez máis próximos a 1, de maneira que: Na gráfica vemos que cando x→∞, a función toma valores cada vez máis próximos a 1, de maneira que: x -2 -5 -10 -100 -1000 y 1,3333 1,0416 1,0101 1,0001 1,0000 Defínense os límites dunha función cando a variable independente se fai infinita como: Como podemos comprobar se facemos unha táboa de valores: TEOREMA: O límite dunha función é único

LIMITES E OPERACIÓNS LÍMITES E OPERACIÓNS

Límites e operacións As propiedades aritméticas realizadas con sucesións e funcións permiten simplificar o cálculo de límites ao permitir descompoñelos en límites de cálculo máis sinxelo. no caso das inversas e dos cocientes, estas igualdades cumpriranse se nin as sucesións nin o límite se anulan nos denominadores, e identicamente para as funcións.

Que facer coas indeterminacións? A principal aplicación das propiedades dos límites é o método de cálculo destes: Indeterminacións As posibles indeterminacións que poden aparecer no cálculo dos límites son: Cocientes finitos: Cocientes infinitos: Sen tanta formalidade, para calcular un límite dunha función, substitúese na expresión da función a indeterminada polo valor ao que tende: Potencias: e ademais Que facer coas indeterminacións? Cando no cálculo dun límite obtemos como resultado unha indeterminación intentaremos eliminala simplificando a expresión, mediante métodos apropiados a cada caso. Ímolos ver con detalle. Non sempre a cousa é tan simple. En moitas ocasións aparecen operacións irresolubles que reciben o nome de indeterminacións:

1.- Factorízanse numerador e denominador e simplifícase a expresión: INDETERMINACIÓNS No caso: Exemplo: 1.- Factorízanse numerador e denominador e simplifícase a expresión: 1.- Miramos os límites laterais facendo as táboas de valores próximos a 2: x f(x)=1/(x-2) 1,9 -10 1,99 -100 1,999 -1000 1,9999 -10000 2.-Calcúlase o límite da expresión simplificada: x f(x)=1/(x-2) 2,1 10 2,01 100 2,001 1000 2,0001 10000 Se iso permite calcular o límite: problema resolto. Se non, teremos que calcular os límites laterais para ver se existen, e de existir, se coinciden. En consecuencia: De onde: NON EXISTE

LÍMITES INFINITOS. O infinito e as indeterminacións

O INFINITO E OS LÍMITES O infinito aparece no cálculo de límites: Decimos que o límite dunha función –pola dereita ou pola esquerda- cando o argumento se achega a un valor é infinito se canto máis nos achegamos ao valor do argumento máis medra o valor da función: Ou no de asíntotas: Asíntota horizontal: y = b / No exemplo: y=0 Asíntota vertical: x = a / Neste caso: No exemplo: x=1

A definición na linguaxe matemática: Non ten sentido falar de Os límites laterais, aínda que ambos tomen o mesmo valor, nunca van coincidir en punto ningún. Dise entón que a función diverxe en x=a. OPERACIÓNS CO  “a” é un número real positivo. As regras para operar co infinito resúmense nos cadros seguintes, e de forma xeral, teñen unha certa lóxica, aínda que, por veces, semellen contraditorias, en especial no caso das indeterminacións. Suma Resta Produtos Cocientes ∞+∞=∞ ∞-∞=Indeterminado ∞-∞=∞ ∞/∞= Indeterminado a+ ∞=∞ a- ∞=-∞ a· ∞=∞ a/∞=0 -a+ ∞=∞ -a- ∞=-∞ -a· ∞=-∞ -a/∞=0 -∞+a=-∞ -a-(-∞)=∞ -a·-∞=∞ ∞/a=∞ ; 0<a<1 a>1 a=1 1 INDET.

Indeterminacións con  1.- A indeterminación Para resolver esta indeterminación sácase factor común a menor potencia nos pares consecutivos: Operamos : 2.- A indeterminación I.- Para resolver dividimos pola maior potencia do denominador, podendo darse tres casos: 1.-Grao do denominador >grao do numerador Neste caso o resultado do límite é sempre cero 2.- 2.-Grao do denominador <grao do numerador Neste caso o resultado do límite é sempre infinito:

3.-Grao do denominador =grao do numerador Cando os graos coinciden o límite é o cociente dos termos coa maior potencia: Indeterminación 1∞. Esta indeterminación aparece no cálculo de límites da forma: Os valores da sucesión tenden a estabilizar as cifras decimais. Diversos razoamentos matemáticos confirman a idea de que a sucesión anterior ten que ter un límite: este número que sería o límite desa sucesión é o número “e”. E normalmente está asociada a un número real chamado “e”, chamado “número de Euler”,ou ”Constante de Neper” que xurde do cálculo de : n a(n)=(1+1/n)^n 1 2 10 2,59374246 100 2,704813829 1000 2,716923932 10000 2,718145927 100000 2,718268237 1000000 2,718280469 10000000 2,718281694 100000000 2,718281786 1000000000 2,718282031 como pode verse na táboa: A efectos de cálculo aproximaremos : e=2,72

Outras sucesións que converxen ao número e son: TEOREMA: Este teorema emprégase para resolver a indeterminación DEMOSTRACIÓN:

Continuidade Funcións continuas e descontinuas, tipos de descontinuidades.

Continuidade Función continua Unha función dise que é continua nun punto cando: 1.- Existe f(x0) 2.- Existen os limites laterais no punto e coinciden. Existindo entón límite da función, L 3.- O límite e o valor da función coinciden L= f(x0) A idea básica que queremos expresar co concepto de continuidade é a de que a serie de valores non se interrompe en x0. De forma gráfica, unha función é continua un punto se a representamos sen ter que levanta o lápis do papel. Nas gráficas podemos ver unha función continua e outra función Función descontinua en x=3

DESCONTINUIDADES NAS FUNCIÓNS Unha función é descontinua nun punto se non é continua: se non se cumpre algunha das tres condicións da definición. 1.- Non se cumpre a primeira: Se a imaxe non existe é porque x0Df. Os casos máis frecuentes son: puntos nos que se anula un denominador, intervalos da recta real nos que un radicando é negativo. non existe f(0), xa que f(0)=1/0 operación que non ten ningún resultado: o cero non é un número do dominio da función: 0Df , e polo tanto esa función é discontinua no cero. A función non toma valores para os números negativos: non teñen raíz

2.-Non se cumpre a segunda que algún, ou ningún dos límites laterais exista : (que o límite lateral sexa +∞ ou -∞): A función pode non ter limite debido a: Que os límites laterais non coincidan Exemplo: Diremos entón que temos unha descontinuidade de salto infinito ou esencial Diremos que temos unha descontinuidade de salto finito. O salto é a diferenza entre os valores dos límites laterais.

descontinuidade evitable. 3.- Non se cumpre a 3ª: Cando os límites laterais coinciden pero o valor na función é distinto temos unha Exemplo: descontinuidade evitable. Podémola evitar redefinindo a función no punto problemático co valor dos límites laterais: sería continua en x=0.