Euler - Matemáticas I Tema: 14 1 Funciones elementales Final Funciones lineales Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b  R se llaman funciones.

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1 Euler - Matemáticas I Tema: 14 1 Funciones elementales Final Funciones lineales Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b  R se llaman funciones lineales. (0, b): ordenada en el origen (0, b): ordenada en el origen f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0 Dominio: R Recorrido: R Una función lineal queda determinada cuando se conocen las imágenes de dos valores distintos de la variable independiente Recorrido: R

2 Euler - Matemáticas I Tema: 14 2 Funciones elementales Final Funciones cuadráticas Son funciones de la forma y = ax 2 + bx + c, donde a  0, b, c  R Funciones y = ax 2 para diferentes valores de a Son parábolas Dominio: R Si a > 0: Recorrido = [0,  ) Si a < 0: Recorrido = (– , 0] a =2 a =1 a = 0,5 a = – 2 a = – 1 a = – 0,5

3 Euler - Matemáticas I Tema: 14 3 Funciones elementales Final Representación gráfica de funciones cuadráticas f(x) = ax 2 + bx + c, a  0 es una parábola V V a > 0 a < 0

4 Euler - Matemáticas I Tema: 14 4 Funciones elementales Se llama función polinómica a las funciones f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +... + a 1 x + a o donde a n, a n-1,..., a o son números reales, n es un número natural, y a n  0. En este caso se dice que tenemos una función polinómica de grado n Funciones polinómicas Las funciones f(x) = x n para n = 1, 2, 3,..... f(x) = x 4 f(x) = x 2 f(x) = x 5 f(x) = x 3 Dominio Recorrido Final

5 Euler - Matemáticas I Tema: 14 5 Funciones elementales Final Representación gráfica de algunas funciones polinómicas Grado 3 Grado 4 Grado 5 Grado 6

6 Euler - Matemáticas I Tema: 14 6 Funciones elementales – 1 1 Final Funciones racionales Una función racional es una función cociente de dos funciones polinómicas; es decir, f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son dos polinomios Dominio: conjunto de todos los números reales excepto los que anulan al denominador. Por tanto para hallar el dominio hay que resolver la ecuación Q(x) = 0 Continuidad: son funciones continuas en su dominio Asíntotas: pueden tener asíntotas verticales, horizontales u oblicuas x + 1 – ++ f(x) + – – + + Las asíntotas de la función f(x) = 1/(x 2 - 1) y los cambios de signo en su dominio

7 Euler - Matemáticas I Tema: 14 7 Funciones elementales Final Funciones con radicales (I) Si m es impar y n es par Si m es impar y n es impar

8 Euler - Matemáticas I Tema: 14 8 Funciones elementales Final Funciones con radicales (II) Si m es par y n es par Si m es impar y n es impar

9 Euler - Matemáticas I Tema: 14 9 Funciones elementales Final Funciones potenciales Una función potencial es una función de la forma f(x) = x a, siendo x la variable y a un número real Dominio: en general definidas sólo en [0,  ). En algunos casos también está definidas para los reales negativos Continuidad: son funciones continuas en su dominio a < 0 0 < a < 1a > 1

10 Euler - Matemáticas I Tema: 14 10 Funciones elementales Final Funciones exponenciales Una función exponencial es una función de la forma f(x) = a x, siendo x la variable y a un número real Dominio: R. Recorrido: (0,  ) Continuidad: son funciones continuas en su dominio Las gráficas de todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0, 1) 0 < a < 1a > 1 f(x) = 2 x f(x) = e – x = (1/e) x f(x) = e x f(x) = 2 – x = (1/2) x

11 Euler - Matemáticas I Tema: 14 11 Funciones elementales Final Funciones exponenciales: algunas propiedades f(x) = a x para 0 < a < 1f(x) = a x para a > 1 Asíntota horizontal por la derecha Decreciente Asíntota horizontal por la izquierda Creciente

12 Euler - Matemáticas I Tema: 14 12 Funciones elementales Final Comparación entre funciones exponenciales y potenciales

13 Euler - Matemáticas I Tema: 14 13 Funciones elementales Final Funciones logarítmicas Una función logarítmica es una función de la forma f(x) = log a x, siendo x la variable y a un número real mayor que 0 y distinto de 1 Dominio: (0,  ). Recorrido: R Continuidad: son funciones continuas en su dominio (0,  ) Las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0) Es inversa de la exponencial: sus gráficas son simétrica respecto y = x 0 < a < 1a > 1 f(x) = a x f(x) = log a x

14 Euler - Matemáticas I Tema: 14 Funciones elementales Final Funciones logarítmicas: algunas propiedades f(x) = log a x para 0 < a < 1 f(x) = log a x para a > 1 Decreciente en su dominio log a x 1 log a x > 0 si 0 < x < 1 Creciente en su dominio log a x > 0 si x > 1 log a x < 0 si 0 < x < 1

15 Euler - Matemáticas I Tema: 14 15 Funciones elementales Final Comparación entre funciones logarítmicas y potenciales

16 Euler - Matemáticas I Tema: 14 16 Funciones elementales Final Función periódica 0 1 2 3 10,1510,3010,451111,1510,3511,45 período = T x x + T Una función f(x) es periódica de período T si existe un número real T  0, llamado período, tal que f(x) = f(x + T), para todo x de su dominio

17 Euler - Matemáticas I Tema: 14 17 Funciones elementales Final Función seno y = 1 y = -1  3  Propiedades de la función seno En continua en su dominio que es R. Su recorrido es el intervalo [-1, 1]. Es periódica de período 2 . No existe el límite de sen x cuando x tiende a ± . Es una función impar: sen (– x ) = sen x

18 Euler - Matemáticas I Tema: 14 18 Funciones elementales Final Función coseno y = 1 y = -1  3  Propiedades de la función coseno En continua en su dominio que es R. Su recorrido es el intervalo [-1, 1]. Es periódica de período 2 . No existe el límite de cos x cuando x tiende a ± . Es una función par: cos (– x ) = cos x y = cos x y = sen x

19 Euler - Matemáticas I Tema: 14 19 Funciones elementales Función tangente  Propiedades de la función tangente En continua en su dominio que es R -  k  k  Z  Su recorrido es toda la recta real. Es periódica de período . Las recta x =  k  k  Z son asíntotas verticales No existe el límite de cos x cuando x tiende a ± . Es una función impar: tan (– x ) = – tan x Final

20 Euler - Matemáticas I Tema: 14 20 Funciones elementales Final Función arco seno Propiedades de la función arco seno En continua en su dominio: [-1, 1]. Su recorrido es el intervalo   ]. Es creciente. La función sen x es inyectiva en  /2,  /2  En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arcsen x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y =x y = sen x y = arcsen x  1 y = x 1  0 – 1  

21 Euler - Matemáticas I Tema: 14 21 Funciones elementales Final Función arco coseno Propiedades de la función arco coseno En continua en su dominio: [-1, 1]. Su recorrido es el intervalo   ]. Es decreciente. La función cos x es inyectiva en ,  En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arccos x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y =x y = cos x y = arccos x y = x 0  1 1  

22 Euler - Matemáticas I Tema: 14 22 Funciones elementales Final Función arco tangente Propiedades de la función arco tangente En continua en su dominio: R. Su recorrido es el intervalo   ]. Es creciente. Tiene asíntota horizontal hacia l derecha en  y hacia la izquierda en -  La función tan x es inyectiva en ,  En ese intervalo tendrá inversa: f(x) = arctan x. Las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la recta y =x y = tan x y = arctan x y = x 0  

23 Euler - Matemáticas I Tema: 14 23 Funciones elementales Final Gráficas de funciones trigonométricas mediante traslaciones y dilataciones Gráfica de la función y = 3 + 2 cos(2x +  )