CAPITULO I Límite de Funciones de una Variable 1.Límites de funciones reales de una variable. Límites mediante la gráfica. Límites por aproximaciones.

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2 CAPITULO I Límite de Funciones de una Variable 1.Límites de funciones reales de una variable. Límites mediante la gráfica. Límites por aproximaciones laterales. Límites finitos. Límites laterales. Álgebra de límites. Límites infinitos. Límites al infinito. CÁLCULOMATEMÁTICO

3 CÁLCULOMATEMÁTICO REPASO VARIABLES Y FUNCIONES CONJUNTO DE NÚMEROS REALES: Esta formado por los número racionales (Enteros Positivos, cero, enteros negativos y números fraccionarios de la forma a/b siendo a y b número enteros) y el conjunto de los números Irracionales (números de infinitas cifras decimales, como por ejemplo  2 = 1,4142… y  = 3,14159…, los cuales no se pueden expresar como una relación de dos números enteros). DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO:

4 CÁLCULOMATEMÁTICO Ejemplos: Variables y Funciones - Repaso Si 2x – a ≥ 0 Si 2x – a < 0 Si x ≥ a/2 Si x < a/2

5 CÁLCULOMATEMÁTICO Algunas propiedades de Valor Absoluto: Variables y Funciones - Repaso

6 CÁLCULOMATEMÁTICO ECUACIONES LINEALES: Variables y Funciones - Repaso ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO: ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR A 2: División de polinomios para simplificar expresiones algebraicas. Regla de Ruffini para factorizar y encontrar las raíces o ceros de una función.

7 CÁLCULOMATEMÁTICO ECUACIONES CON RAICES: Variables y Funciones - Repaso ECUACIONES EXPONENCIALES: ECUACIONES LOGARÍTMICAS:

8 CÁLCULOMATEMÁTICO Variables y Funciones - Repaso INTERVALOS FINITOS: Sean a y b dos números que pertenecen a R, tales que a < b. El conjunto de todos los números “x” comprendidos entre a y b, recibe el nombre de intervalo abierto de a a b y se escribe a < x < b. Los puntos a y b reciben el nombre de “extremos del intervalo”. El intervalo abierto a < x < b unido con sus extremos, es decir, a ≤ x ≤ b, recibe el nombre de Intervalo Cerrado de a a b. INTERVALOS INFINITOS: Sea a un número cualquiera que pertenece a R. El conjunto de todos los números “x” tales que x a, x ≥ a y x ≤ a.

9 CÁLCULOMATEMÁTICO Variables y Funciones - Repaso DESIGUALDADES E INECUACIONES: PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES: INECUACIONES:

10 CÁLCULOMATEMÁTICO Variables y Funciones - Repaso ESCALA NUMÉRICA: Es una representación gráfica de los números reales por medio de los puntos de una recta. A cada número le corresponde un solo punto de la recta y viceversa. Para establecer una escala numérica sobre una recta, hay que efectuar las siguientes operaciones: Tomar un punto cualquiera de ella como origen asignándole el valor “cero”. Elegir el sentido positivo (que se indica por medio de una flecha). Con una unidad de medida adecuada situar el punto +1 y -1 a la misma distancia del origen.

11 CÁLCULOMATEMÁTICO Variables y Funciones - Repaso Se debe considerar que los número (puntos) N y –N, están uno a cada lado del origen y a la misma distancia de él, |N|. Si a y b son dos números distintos, a b, quiere decir que a está a la derecha. El segmento dirigido de “a” a “b”, viene representado por b – a, siendo negativo si a > b y positivo si a < b. En cualquiera de los casos, b está a una distancia de a igual a: |b – a| = |a – b|

12 CÁLCULOMATEMÁTICO CONSTANTE Y VARIABLE: Cuando en una determinada expresión matemática se representa a un solo número, éste denomina “Constante”, para el caso de un intervalo a < x < b, los valores de a y b son constantes. Cuando se desea representar un número cualquiera de un conjunto de números, hablamos de una variable, para el caso de un intervalo a < x < b, x puede ser cualquier número que está entre el valor de a y b, por lo tanto, en este caso x es una variable. Es importante destacar que el campo de variación de una variable es una característica del conjunto de números al cual pertenece la variable, por ejemplo: -Si “x” representa un libro de un conjunto formado por 10 tomos, el campo de variación de x es: 1, 2, …, 10 -Si “x” es un día del mes de julio, su campo de variación será: 1, 2, 3, …, 31. -Si “x” es la cantidad de agua (en litros) que se puede sacar de un depósito lleno con 10 litros, su campo de variación es el intervalo: 0 < x < 10. Variables y Funciones - Repaso

13 CÁLCULOMATEMÁTICO FUNCIONES DE UNA VARIABLE: Se dice que una variable “Y” es función de otra “X”, cuando ambas están relacionadas de forma que para cada valor de “X” perteneciente a su campo de variación, le corresponde un valor de “Y”. La variable “y”, cuyo valor depende de “X”, se llama variable dependiente, mientras que “x” es la variable independiente. Al campo de variación de la variable “X” se le llama Dominio de la Función y todos los valores que puede tomar la variable “Y”, se le llama Recorrido. Para el ejemplo anterior, el dominio de f(x) es R y el recorrido es [0, +∞)

14 CÁLCULOMATEMÁTICO FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL R Para que f(x) sea una función, se ha de cumplir dos condiciones: Todo elemento del Dominio, ha de tener imagen (Recorrido). Esta imagen ha de ser única. La fórmula f(x) = x 2 relaciona dos Variables Reales R 4 5,29 25 Recorrido Dominio 2 2,3 5 f(x) = x 2 f(2) = 4 f(2,3) = 5,29 f(5) = 25

15 CÁLCULOMATEMÁTICO FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL – 1 1 Dominio Recorrido x f(x) (x, f(x)) Variable independiente Ley de asociación Variable dependiente xfy = f(x) Dominio D = [–1, 1] Recorrido f([–1, 1]) = [0, 1]

16 CÁLCULOMATEMÁTICO LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal. El LIMITE de una función f(x) es el valor al cual tiende esta función cuando la variable independiente “x”, tiende a un valor x 0 determinado.

17 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES LÍMITE DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Si x 0 y L son dos Números Reales, la expresión quiere decir que si la variable independiente “x” toma valores próximos al número real x 0, los correspondientes valores de f(x) se aproximan al número real “L”. Importante: si existe el límite de una función en un punto x = x 0, dicho límite debe ser un número real “L” y además debe ser único. Podemos tener una idea del valor al cual se aproxima f(x), cuando x tiende a x 0, si reemplazamos en f(x) valores muy cercanos a x 0, y de esta forma, podemos estimar cual será el valor de: Realizar esta acción es conocida como cálculo del límite de una función en forma intuitiva.

18 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES IDEA INTUITIVA DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Consideramos la función definida por: El dominio de f(x) es todo x  a R y su representación gráfica es la siguiente:

19 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES Nos interesa observar el comportamiento de la función f(x) para valores de “x” cercanos a 2 pero no iguales a 2, para ello realizamos una tabla como la que se presenta a continuación: IDEA INTUITIVA DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Puede observarse que conforme “x” se aproxima más a 2, f(x) toma cada vez valores más próximos a 3. En otras palabras, al restringir el dominio de la función a valores cada vez “más cercanos a 2”, el conjunto de imágenes, es decir, los valores que toma la función f(x), se “acercan cada vez más a 3”. En este caso, se dice que cuando x tiene a 2, que se escribe como x  2, entonces la función f(x) tiende a 3 y se escribe f(x)  3. Utilizando la notación de límite: Y se lee: límite de f(x) cuando x tiende a 2 es igual a 3.

20 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES IDEA INTUITIVA DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Se escribe x  1 lim x 2 – 1 x 2 – 3x + 2 =– 2 Ejemplo: La función f(x) = x 2 – 1 x 2 – 3x + 2 no está definida en los puntos x = 1 y x = 2. ¿A qué valor tiende f(x) cuando x toma valores cada vez más próximos a 1? Puede observarse que conforme “x” se aproxima más a 1, f(x) toma cada vez valores más próximos a -2.

21 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES En los dos ejemplos anteriores, hemos calculado el límite en forma intuitiva acercándonos al valor de x 0. En ambos casos se puede observar que hemos tenido que acercarnos a x 0 tomando valores reales, que están tanto a la izquierda como a la derecha de él: LÍMITES LATERALES DE UNA FUNCIÓN Esto, en el cálculo infinitesimal se conoce como Límites Laterales.

22 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES Considerando lo indicado anteriormente, es que podemos establecer que en un límite x puede tender al valor x 0 tanto por su izquierda como por su derecha, por lo que se hace preciso distinguir ambos límites. LÍMITES LATERALES DE UNA FUNCIÓN LÍMITE POR LA IZQUIERDA LÍMITE POR LA DERECHA Considerando que el límite de una función debe ser único, una función f(x) tiene límite en un punto x 0, si sus límites laterales en dicho punto existen y además, son iguales. Entonces, para que el límite de f(x) exista, L1 = L2 = L

23 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES LÍMITES LATERALES DE UNA FUNCIÓN Ejemplo 1 En la gráfica de la función vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 7 x  2 + LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 5 x  2 - 0 1 2 3 7 Ejemplo 2 En la gráfica de la función vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 1 x  0 + LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 0 x  0 - 0 1 2 1 x y x y 5

24 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES Ejemplo 3 Según la gráfica vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 1 x  1 + LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 1 x  1 - En este caso: lím f(x) = 1 x  1 0 1 2 3 1 x y LÍMITES LATERALES DE UNA FUNCIÓN

25 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES Ejemplo 4 Según la gráfica vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 3 x  5 + LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 3 x  5 - En este caso: lím f(x) = 3 x  5 LÍMITES LATERALES DE UNA FUNCIÓN 0 5 10 y3y3 x

26 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES LÍMITE DE FUNCIONES CUANDO X TIENDE A INFINITO En la medida en que “x” toma valores cada vez mayores, ¿a que valor se acerca f(x)?

27 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES Representación de los términos de la función f(x) = 1/x X = 1 X = 2 X = 3 X = 20 X = 50 X = 95 LÍMITE DE FUNCIONES CUANDO X  ∞

28 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES Representación de los términos de la función f(x) = 2x / (x + 1) X = 1 X = 2 X = 3 X = 20 X = 50 X = 95

29 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES LÍMITE DE FUNCIONES CUANDO X  ∞ Representación de los términos de la función f(x) = x 2 + 1 X = 5 X = 20 X = 50 X = 95

30 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES Límite de f(x) cuando x tiende a +∞ Representación de los términos de la función f(x) = -x 2 + 1 X = 5 X = 20 X = 50 X = 95

31 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LÍMITE DE FUNCIONES Para hacer el análisis, utilizaremos la función: En el análisis veremos 2 casos: 1.Límite de f(x) cuando x tiende a +∞ o -∞ y L es un Nro. Real. 2.Límite de f(x) cuando x tiende a x 0 tiene un valor igual a +∞ o -∞.

32 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES CASO 1 En este caso, para valores muy grande de “x”; la función f(x) tiende a 1; esto significa que al graficar la función, se tendrá una asíntota horizontal, es decir, se tendrá una asíntota cuya ecuación será y = L.

33 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES En este ejemplo, f(x) se indetermina en x = 1, por lo que se debe calcular el límite de f(x) cuando x tiende a 1. Si el límite es ±∞, entonces, en la grafica de f(x), se visualizará una asíntota vertical cuya ecuación es x = L, en el caso de que el límite sea distinto de ±∞, f(x) no tendrá asíntota vertical. CASO 2

34 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES EJEMPLOS DE FUNCIONES CON ASINTOTAS Por lo tanto la gráfica de la función tiene una asíntota horizontal, cuya ecuación es y = 0, es decir el eje “x”. Como f(x) existe para todo x que pertenece a los reales, entonces f(x) no tiene asíntota vertical.

35 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES EJEMPLOS DE FUNCIONES CON ASINTOTAS Por lo tanto la gráfica de la función tiene una asíntota horizontal, cuya ecuación es y = 1. Como en el caso anterior, f(x) existe para todo x que pertenece a los reales, entonces f(x) no tiene asíntota vertical.

36 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES EJEMPLOS DE FUNCIONES CON ASINTOTAS Por lo tanto la gráfica de la función tiene una asíntota horizontal, cuya ecuación es y = 0, es decir el eje “x”.

37 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES EJERCICIOS En cada una de las funciones que se indican a continuación, indicar cuales son sus asíntotas verticales y horizontales.

38 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE DE FUNCIONES Dado un número real “x 0 ” y un número real positivo , se llama entorno de centro x 0 y radio , al intervalo abierto de extremos x 0 - , x 0 +  : E(x 0,  ) = (x 0 - , x 0 +  ) = {x  R / x 0 -  < x < x 0 +  } DEFINICIÓN DE LÍMITE DE f(x) EN UN PUNTO:

39 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES Para cada  > 0 Hay un  > 0 0 < |x – a | <  |f(x) – L | <  DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE DE FUNCIONES La condición 0 < | x – x 0 | <  prohíbe que x tome el valor x 0, esto quiere decir que no es necesario que la función f(x) esté definida para x = x 0, en otras palabras, no es necesario que x 0 pertenezca al dominio de f(x).

40 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE DE FUNCIONES Ejercicios resueltos aplicando la definición formal de límite, también llamada definición Epsilon – Delta (  -  ). Puesto que f(x) = 3x + 5 está definida para cualquier número real, se cumple que para cualquier intervalo abierto que contenga a -2 cumplirá con el requisito de la definición. Por lo tanto se debe demostrar que para cualquier  > 0, existe un  > 0, tal que:

41 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES Eligiendo  =  /3, se tiene que: Conclusión:

42 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE DE FUNCIONES Ejercicios número 2: Puesto que f(x) = 2x – 5 está definida para cualquier número real, se cumple que para cualquier intervalo abierto que contenga a 3 cumplirá con el requisito de la definición. Por lo tanto se debe demostrar que para cualquier  > 0, existe un  > 0, tal que:

43 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES Eligiendo  =  /2, se tiene que: Conclusión:

44 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE DE FUNCIONES Ejercicios número 3: Puesto que f(x) = x 2 + x – 2 está definida para cualquier número real, se cumple que para cualquier intervalo abierto que contenga a 2 cumplirá con el requisito de la definición. Por lo tanto se debe demostrar que para cualquier  > 0, existe un  > 0, tal que:

45 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES Por lo tanto, falta por acotar |x + 3|y para ello consideramos δ ≤ 1, así: Por definición de límite, sabemos que |x – 2| está acotado por δ, es decir: Sumando 5 a la desigualdad anterior se tiene que:

46 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES Entonces: Conclusión: Comoy Eligiendo  = min { (  /6), 1 } se tiene que:

47 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE DE FUNCIONES Demostrar los siguientes Límites usando la definición Epsilon – Delta (  -  ).

48 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES PROPIEDADES DE LÍMITES DE FUNCIONES

49 En ocasiones, al calcular límites encontramos ciertas expresiones cuyos valores no conocemos a priori. Son las llamadas indeterminaciones. Para algunas de ellas existen reglas que nos permiten calcular su valor (como en el caso de 1 ∞ ). Pero la mayoría de las indeterminaciones no se resuelven de un modo tan directo, sino que debemos realizar una serie de operaciones o cálculos para poder determinar sus valores. Debemos decir que en realidad, el cálculo diferencial nos proporciona un método muy efectivo y sencillo bajo ciertas condiciones: la Regla de L'Hôpital. Pero no emplearemos esta regla ya que tenemos una sección especialmente dedicada a ella: límites por L'Hôpital. Veamos cuáles son las indeterminaciones mencionadas anteriormente y algunos procedimientos que se pueden utilizar para resolverlas: LÍMITE DE FUNCIONES APLICANDO PROPIEDADES CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES

50 Indeterminaciones y Procedimientos CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES

51 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES

52 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES Ejemplos

53 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES Indeterminaciones y Procedimientos

54 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES EJEMPLOS

55 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES Ejemplos

56 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES L = 3/7

57 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES Ejemplos EJERCICIOS

58 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES Ejercicios

59 CÁLCULOLÍMITESCÁLCULOLÍMITES Ejemplos