Interpolación basada en restricciones con A-splines cúbicos TITULO: Interpolación basada en restricciones con A-splines cúbicos AUTORES: Richard Medina Rodríguez M.Sc. Armando Arredondo Soto Dr. Jorge Estrada Sarlabous Dra. Sofia Behar Jequín M.Sc. Wilfredo Morales Lezca hi!! ;)

se puede dejar pero ver si pongo otro video aparte del de pi que ya lo use antes

Ecuación de la curva en coordenadas baricéntricas (x0,y0) (x2,y2) 𝜃0 𝜃2 Κ0 Κ2 𝛿

Dada una sección de A-spline Objetivo Dada una sección de A-spline relajar las condiciones a imponer para lograr la satisfacción de exigencias extra de interpolación durante el diseño libre

Propuestas anteriores δ 3 δ 2 δ 1 Propuesta anterior de solución al problema de interpolar un punto extra sin variar las condiciones iniciales de la curva

Propuestas anteriores Propuesta anterior de solución al problema de interpolar un punto con pendiente dada

¿De que forma podemos entonces Problema ¿De que forma podemos entonces flexibilizar la satisfacción de estas condiciones para la interpolación?

Llamaremos footpoint al punto P en la curva A-spline A; Proyección ortogonal Definición: Llamaremos footpoint al punto P en la curva A-spline A; al punto perteneciente a la curva y que minimiza la distancia euclidiana a P como se computa el footpoint y sus ventajas. Aclarar que el computo se realiza a partir de una parametrizacion uniforme respect a la variacion del valor de la pendiente (no de la longitude de de arco)!!

Proyección ortogonal agregar aca las disimiles aplicaciones: distancia entre curvas; silucion a problemas de ajuste o comparer dichas soluciones por distancias aproximadas; nosotros usamos la euclidiana (distancia mas intuitive) Figure taken from Jüttler, B. Bounding the Hausdorff Distance of Implicitly Defined and/or Parametric Curves, Mathematical Methods for Curves and Surfaces.

Subdivisión Definición: Sea 𝐴 𝑖 el segmento i-ésimo del A-spline y P un punto interior de 𝐴 𝑖 . Entendemos por subdividir a 𝐴 𝑖 en P el proceso de crear dos arcos del A-spline que interpolan a P y a uno de los extremos de 𝐴 𝑖 , con su tangente y curvatura previamete prefijados y asignarle a cada subarco un valor de delta que minimice cierta distancia entre 𝐴 𝑖 y el correspondiente subarco.

Ejemplos de subdivisión Ejemplo de subdivisión en nuestro esquema A-spline Subdivisión en curvas de Bézier

aca va un video mostrando las potencialidades de estas nuevas herramientas para la solucion de problemas con restricciones y comentar al respecto

Problema a estudiar ¿Qué δ asignamos a las nuevas secciones para que sean lo más aproximadas posible a la curva original?

Propuestas de soluciones aca se puede decir que todo esto tributa a la extensionalidad que es una de las propiedades que se desean usualmente en el diseno libre

Conclusiones Se flexibilizó la solución a problemas básicos del diseño libre mediante la introducción de nuevas herramientas para el estudio de nuestra familia de curvas. La potencialidad de la solución a los problemas de interpolación con restricciones será tan buena como exacta la subdivision.

Recomendaciones Realizar un estudio más profundo de las diferentes formas de subdividir la curva. Profundizar en las nuevas bondades que ofrece el footpoint a una curva implícita. Estudio del problema de la extensionalidad mediante la subdivisión.

TITULO: Interpolación basada en restricciones con A-splines cúbicos AUTORES: Richard Medina Rodríguez M.Sc. Armando Arredondo Soto Dr. Jorge Estrada Sarlabous Dra. Sofia Behar Jequín M.Sc. Wilfredo Morales Lezca