Eduardo Quintana. Diego Soto. Gonzalo Sepúlveda. III ½ 2005.

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1 Eduardo Quintana. Diego Soto. Gonzalo Sepúlveda. III ½ 2005.
“La hipérbola” Eduardo Quintana. Diego Soto. Gonzalo Sepúlveda. III ½

2 Definición Una hipérbola es el conjunto de puntos
P = (x,y) para los que la diferencia de sus distancias a dos puntos distintos prefijados (llamados focos) es constante. P(x,y) - F1 = 2a P(x,y) – F2= -2a

3 - La recta que pasa por los focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento recto que une los vértices se llama eje transversal (2a) y su punto medio es el centro (h,k) de la hipérbola. El eje principal es donde están contenidos los vértices, focos y centro y no debe confundirse con eje transversal. Un hecho distintivo de la hipérbola es que su gráfica tiene dos partes separadas, llamadas ramas.

4 El lado recto de la hipérbola es la cuerda perpendicular al eje principal y que pasa por un foco.
L.R.: 2b^2 a Los vértices están a una distancia de a unidades del centro y los focos a una distancia de c unidades del centro. Además: b^2 = c^2 - a^2

5 Ecuación canónica de la hipérbola:
(x-h)^2 - (y-k)^2 a^ b^2 (y-k)^2 – (x-h)^2 - La ecuación canónica de la hipérbola con centro en (h,k) y con eje transversal horizontal, es: - Y con eje transversal vertical es:

6 Resumiendo: Si el eje transversal de la hipérbola es horizontal entonces: El centro está en (h,k). Los vértices están en (h +/- a,k). Los focos están en (h +/- c,k).

7 Si el eje transversal de la hipérbola es vertical entonces
El centro está en (h,k). Los vértices están en (h, k +/- a). Los focos están en (h, k +/-c).

8 Asintotas de una hipérbola
Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola son sus asíntotas. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en su centro y pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a y 2b y centro en (h,k) .El segmento recto de longitud  2b  que une B1(h, k+b) con B2(h,k-b) se llama eje conjugado(2b de la hipérbola.

9 Teorema de las asíntotas
Si la hipérbola tiene un eje transversal horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son: y = k +/- b(x-h) a Y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son: y = k +/- a(x-h) b

10 Excentricidad de la hipérbola
- La excentricidad de una hipérbola está dada por el cociente entre c y a. De esta manera: e = c a - Si la excentricidad es grande los focos están cerca del centro y las ramas de la hipérbola son casi rectas verticales. Si la excentricidad pequeña los focos estarán más lejos del centro y la ramas de la hipérbola son más puntiagudas.

11 Teorema (propiedad de reflexión)
La tangente en un punto a de una hipérbola es la bisectriz del ángulo formado por lo segmentos que unen este punto con los focos.